【題目】如圖,直線 分別交x軸、y軸于A、B兩點,已知點C坐標(biāo)為(6,0),若直線AB上存在點P,使∠OPC=90°,則m的取值范圍是。

【答案】
【解析】解 :如圖 :

要使∠OPC=90,則直線AB必經(jīng)過以O(shè)C為直徑的圓,
如圖直線AB切圓于P,
∴∠MPA=90°
∵點C(6,0),
∴OC=6,
∴OM=PM=3,
∵直線y=x+m,
∴ A(,0); B(0,m);
∴OA=,OB=m;
∴OB∶OA=2∶3,
∵∠OAB=∠PAM,∠AOB=∠APM=90
∴△AOB∽△APM,
∴PM∶PA=OB∶OA=2∶3,
∴PA=,
∴MA=
∴OA=3+或3-
∵點A的橫坐標(biāo)為m;
=3+ =3-
∴m=2+或m=2-
∴m的取值范圍是2+≤m≤2-
故答案為 :2+≤m≤ 2-.
要使∠OPC=90,則直線AB必經(jīng)過以O(shè)C為直徑的圓,如圖直線AB切圓于P,根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠MPA=90°,由C點的坐標(biāo)得出OC=6,進(jìn)而得出OM=PM=3,根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點的特點得出A,B兩點的坐標(biāo),進(jìn)而得出OA,OB的長度,從而得出OB,與OA的比值,再判斷出△AOB∽△APM,由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出PM∶PA=OB∶OA=2∶3,進(jìn)而求出PA,MA,OA的長度,根據(jù)點A的橫坐標(biāo),得出關(guān)于m的方程,求解得出m的值,進(jìn)而就求出m的取值范圍。

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