Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿CA、CB勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作AC的垂線l交AB于點(diǎn)R，連接PQ、RQ，并作△PQR關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形，得到△PQ′R．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△PQ′R與△PAR重疊部分的面積為S（cm2）．

（1）t為何值時(shí)，點(diǎn)Q′恰好落在AB上？
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）S能否為 cm2？若能，求出此時(shí)的t值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接QQ′，

∵PC=QC，∠C=90°，

∴∠CPQ=45°，又l⊥AC，

∴∠RPQ=∠RPC﹣∠CPQ=90°﹣45°=45°，

由對(duì)稱可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，

∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，

∴△BQQ′∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得：t=2.4；

（2）

解：當(dāng)0＜t≤2.4時(shí)，過Q′作Q′D⊥l于D點(diǎn)，則Q′D=t，

又∵RP∥BC，

∴△RPA∽△BCA，

∴ ，即 = ，

∴RP=（8﹣t） = ，

∴S= RPQ′D= t=﹣ t2+3t；

當(dāng)2.4＜t≤6時(shí)，記PQ′與AB的交點(diǎn)為E，過E作ED⊥l于D，

由對(duì)稱可得：∠DPE=∠DEP=45°，

又∵∠PDE=90°，

∴△DEP為等腰直角三角形，

∴DP=DE，

∵△RDE∽△BCA，

∴ = = ，即DR= DE，

∵△RPA∽△BCA，

∴ ，即 = ，

∴RP= ，

∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+ DE= ，即 DE= ，

∴DE= ，

∴S= RPDE= = t2﹣ t+ ；

（3）

解：S能為 cm2，理由為：

若 t2﹣ t+ = （2.4＜t≤6），

整理得：t2﹣16t+57=0，

解得：t= =8± ，

∴t1=8+ （舍去），t2=8﹣ ；

若﹣ t2+3t= （0＜t≤2.4），

整理得：t2﹣8t+3=0，

解得：t= =4± ，

∴t1=4+ （舍去），t2=4﹣ ，

綜上，當(dāng)S為 cm2時(shí)，t的值為（8﹣ ）或（4﹣ ）秒

【解析】（1）如圖所示，連接QQ′，由題意得到三角形PQC為等腰直角三角形，可得出∠CPQ=45°，再由l與AC垂直，得到∠RPQ也為45°，進(jìn)而由對(duì)稱性得出PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，由平行得到一對(duì)同位角相等，再由公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△BQQ′∽△BCA，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到此時(shí)t的值；（2）由（1）求出t的值，分兩種情況考慮：當(dāng)0＜t≤2.4時(shí)，過Q′作Q′D⊥l于D點(diǎn)，則Q′D=t，由RP與BC平行，利用兩直線平行得到兩對(duì)同位角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△RPA∽△BCA，由相似得比例表示出RP，利用三角形的面積公式表示出S關(guān)于t的關(guān)系式即可；當(dāng)2.4＜t≤6時(shí)，記PQ′與AB的交點(diǎn)為E，過E作ED⊥l于D，由對(duì)稱性得到由對(duì)稱可得：∠DPE=∠DEP=45°，可得出三角形DEP為等腰直角三角形，得到DE=DP，由△RDE∽△BCA，利用相似得比例，表示出DR，再由△RPA∽△BCA，由相似得比例，表示出RP，由RP=RD+DP=RD+DE，將表示出的DR及RP代入，表示出DE，利用三角形的面積公式即可表示出S與t的關(guān)系式；（3）S能為 cm2 ， 具體求法為：當(dāng)0＜t≤2.4時(shí)，令S= ，得出關(guān)于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值；當(dāng)2.4＜t≤6時(shí)，令S= ，得出關(guān)于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值，經(jīng)檢驗(yàn)得到滿足題意t的值．
【考點(diǎn)精析】掌握求根公式和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．