在正方形ABCD中:
(1)已知:如圖①,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,且AE⊥BF,垂足為M,求證:AE=BF.
(2)如圖②,如果點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上,且GE⊥BF,垂足M,那么GE、BF相等嗎?證明你的結(jié)論.
(3)如圖③,如果點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上,且GE⊥HF,垂足M,那么GE、HF相等嗎?證明你的結(jié)論.
分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì),得到∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,進(jìn)而得到∠BAE=∠CBF,則△ABE≌△BCF,進(jìn)一步根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明;
(2)過點(diǎn)A作AN∥GE,可證四邊形ANEG是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AN=GE,由(1)的結(jié)論可知AN=BF,所以GE=BF;
(3)分別過點(diǎn)A、B作AP∥GE,BQ∥HF,可證四邊形APEG、四邊形BQFH為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AP=GE,BQ=HF,由(1)的結(jié)論可知AP=BQ,所以GE=HF.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,AE⊥BF,
∴∠BAE+∠ABM=90°,∠CBF+∠ABM=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∵在△ABE和△BCF中,
∠ABC=∠C=90°
∠BAE=∠CBF
AB=BC

∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF;

(2)GE=BF.
證明:如圖②,過點(diǎn)A作AN∥GE,
∵AD∥BC,
∴四邊形ANEG是平行四邊形,
∴AN=GE,
∵GE⊥BF,
∴AN⊥BF,
由(1)可得△ABN≌△BCF,
∴AN=BF,
∴GE=BF;

(3)GE=HF.
證明:如圖③,分別過點(diǎn)A、B作AP∥GE,BQ∥HF,
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四邊形APEG、四邊形BQFH為平行四邊形,
∴AP=GE,BQ=HF,
∵GE⊥HF,
∴AP⊥BQ,
由(1)可得△ABP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
∴GE=HF.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定,熟練掌握正方形性質(zhì)確定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵,(2)(3)兩題通過作輔助線構(gòu)造成(1)的形式是得解的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知:如圖所示,在正方形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為DC上的一點(diǎn),且DF=
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DC.求證:△BEF是直角三角形.

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18、在正方形ABCD中,點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn),連接AG,過B,D兩點(diǎn)分別作BE⊥AG,DF⊥AG,垂足分別為E,F(xiàn)兩點(diǎn),求證:△ADF≌△BAE.

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(2012•黑河)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)M、N分別在AD、CD上,若∠MBN=45°,易證MN=AM+CN
(1)如圖2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,點(diǎn)M、N分別在AD、CD上,若∠MBN=
1
2
∠ABC,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出猜想,并給予證明.
(2)如圖3,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上,若∠MBN=
1
2
∠ABC,試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出猜想,不需證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

21、在正方形ABCD中,P為對角線BD上一點(diǎn),PE⊥BC,垂足為E,PF⊥CD,垂足為F,求證:EF=AP.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正方形ABCD中,P是CD上一點(diǎn),且AP=BC+CP,Q為CD中點(diǎn),求證:∠BAP=2∠QAD.

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