Question

閱讀下面的材料：
小明遇到一個(gè)問題：如圖（1），在□ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G. 如果，求的值.

他的做法是：過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則可以得到△BAF∽△HEF.
請你回答：（1）AB和EH的數(shù)量關(guān)系為    ，CG和EH的數(shù)量關(guān)系為    ，的值為    .
（2）如圖（2），在原題的其他條件不變的情況下，如果，那么的值為    （用含a的代數(shù)式表示）.

（3）請你參考小明的方法繼續(xù)探究：如圖（3），在四邊形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F. 如果，那么的值為    （用含m，n的代數(shù)式表示）.

Answer 1

（1）,, ；（2）；（3）. 

解析試題分析：本題的設(shè)計(jì)獨(dú)具匠心：由平行四邊形中的一個(gè)特殊的例子出發(fā)（第1問），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問），最后再通過類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去（第3問）．各種圖形雖然形式不一，但運(yùn)用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過構(gòu)造相似三角形，得到線段之間的比例關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來表達(dá)，這樣就可以方便地求出線段的比值．本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類旁通、舉一反三．（1）根據(jù)△BAF∽△HEF,可知兩三角形的相似比是3:1，所以AB=3EH；由EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，故△BCG∽△BEH，而E為BC的中點(diǎn)，所以兩三角形的相似比為2:1，所以CG=2EH；由平行四邊形對邊相等得，AB=CD,所以.
根據(jù)（1）的分析，易得.（3）本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如下圖所示．

試題解析：
解：（1）依題意，過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，如右圖1所示．則有△ABF∽△HEF，
∴,即AB=3EH
∵EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，
∴△BCG∽△BEH，
又∵E為BC的中點(diǎn)，
∴CG=2EH；
∴
故填空依次為：,, .
同理根據(jù)（1）可以發(fā)現(xiàn)：，；
∴
故填空為 .
如上圖所示，過點(diǎn)E作EH//AB交BD的延長線于點(diǎn)H，則有EH//AB//CD
∵EH//CD
∴△BCD∽△BEF,
∴,即
又∵
∴
∵EH//AB
∴△ABF∽△EHF
∴
故填空為：.
考點(diǎn)：1、相似形綜合題；2、平行四邊形的性質(zhì)；3、梯形；4、相似三角形的判定與性質(zhì)．