Question

【題目】如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連結CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．

（1）求證：BF=EF；

（2）求證：PA是⊙O的切線；

（3）若FG=BF，且⊙O的半徑長為3，求BD和FG的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），FG=3．

【解析】

（1）根據切線判定可得EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中點，就可得出結論BF=EF．
（2）要證PA是⊙O的切線，就是要證明∠PAO=90°連接AO，AB，根據第1的結論和BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結論．
（3）點F作FH⊥AD于點H，根據前兩問的結論，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的長度．

（1）證明：∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，
∴EB⊥BC，又∵AD⊥BC，∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，，

∵G是AD的中點，∴DG=AG，∴BF=EF．
（2）證明：連結AO，AB，
∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°，
在Rt△BAE中，由（1）知F是斜邊BE的中點，
∴AF=FB=EF，∴∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是⊙O的切線，∴∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是圓O的切線．

（3）解：過點F作FH⊥AD于點H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，∴FH∥BC，
由（2）知∠FBA=∠BAF，∴BF=AF，
由已知得BF=FG，∴AF=FG，

∴△AFG是等腰三角形，
∵FH⊥AD，∴AH=GH，

∵DG=AG，∴DG=2HG，，

∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，

∴四邊形BDHF是矩形，BD=FH，
∵FH∥BC，∴△HFG∽△DCG，

，

∵⊙O的半徑長為，

解得:，

，

在Rt△FBC中，∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF2=BF2+BC2，

解得FG=3（負值舍去）
∴FG=3．