Question

已知PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側。

（1）如圖，當∠APB=45°時，求AB及PD的長；
（2）當∠APB變化，且其他條件不變時，求PD的最大值，及相應∠APB的大小。

Answer 1

解：（1）①如圖（1），作AE⊥PB于點E， △APE中，∠APE=45°，PA=， ∴AE=PA·sin∠APE==1，PE=PA·cos∠APE==1， ∵PB=4， ∴BE=PB-PE=3， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴； 如圖（2），因為四邊形ABCD為正方形，可將△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A ∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°， ∴， ；
（2）如圖（3）所示，將△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值， ∵△P'PB中，P'B<PP'+PB，PP'==2，PB=4，且P、D兩點落在直線AB的兩側， ∴當P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值（見圖（4）），此時P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6， 此時∠APB=180°-∠APP'=135°。