Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為B．孔明同學(xué)用一把寬為3cm帶刻度的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測(cè)量：
①量得OA=3cm；
②把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱軸重合，使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合（如圖1），測(cè)得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn)C的刻度讀數(shù)為4.5．
請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
（1）寫出拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將圖中的直尺（足夠長(zhǎng)）沿水平方向向右平移到點(diǎn)A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點(diǎn)H、G，交拋物線于點(diǎn)E、F．求證：S_梯形EFGH=

1

6

（EF²-9）．

Answer 1

分析：（1）由于O、A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且OA=3cm，由此可求得拋物線的對(duì)稱軸為x=

3

2

．
（2）根據(jù)O、A的坐標(biāo)，可將拋物線解析式設(shè)為交點(diǎn)式，在（1）題求得了拋物線的對(duì)稱軸，即可得到B、C的橫坐標(biāo)，分別代入拋物線的解析式中，表示出它們的縱坐標(biāo)，根據(jù)C、B的縱坐標(biāo)差為4.5即可列方程求出待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式．
（3）可設(shè)出E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)直尺的寬度得到F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)（2）題所得拋物線，即可表示出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用梯形的面積公式，可求出梯形EFGH的面積表達(dá)式，然后同

1

6

（EF²-9）進(jìn)行比較即可．

解答：（1）解：直線x=

3

2

；

（2）解：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax（x-3），
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y=-

9

4

a，即B(

3

2

，-

9

4

a)；
當(dāng)x=

9

2

時(shí)，y=

27

4

a，即C(

9

2

，

27

4

a)，
依題意得：

27

4

a-(-

9

4

a)=4.5，
解得：a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2-

3

2

x；

（3）證明：過(guò)點(diǎn)E作ED⊥FG，垂足為D，
設(shè)E(x，

1

2

x2-

3

2

x)，
則F(x+3，

1

2

x2+

3

2

x)，
得：S_梯形EFGH=

3

2

(EH+FG)=

3

2

•[(

1

2

x2-

3

2

x)+(

1

2

x2+

3

2

x)]=

3

2

x2，
∵

1

6

(EF2-9)=

1

6

×9x2=

3

2

x2，
∴S_梯形EFGH=

1

6

(EF2-9)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)并不是很多，主要涉及二次函數(shù)解析式的確定以及圖形面積的求法，能夠從圖中獲得有效的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．