Question

如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；
(1) 延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)。j求證：△BPM≌△CPE；k求證：PM=PN；
(2) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變。此時(shí)
PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
(3) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN
的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎？不必說明理由。

Answer 1

（1）見解析；（2）成立；（3）成立

試題分析：（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠MBP=∠ECP再根據(jù)BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；
②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN．
（2）證明方法與②相同．
（3）四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立．
（1）①如圖2：

∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，
∴∠BMA=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC邊中點(diǎn)，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE
∴PM=ME，
∴在Rt△MNE中，PN=ME，
∴PM=PN．
（2）成立，如圖3，延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，

∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，
∴∠BMN=∠CNM=90°
∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC中點(diǎn)，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM=ME，
則Rt△MNE中，PN=ME，
∴PM=PN．
（3）如圖4：

四邊形M′BCN′是矩形，
根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點(diǎn)，得到△M′BP≌△N′CP，
得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．