如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)C(0,1),頂點(diǎn)為Q(2,3),點(diǎn)D在x軸正半軸上,且OD=OC.

(1)求直線CD的解析式;
(2)求拋物線的解析式;
(3)將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E,求證:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的條件下,若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn):在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中,△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)∵C(0,1),OD=OC,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)。
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b(k≠0),
將C(0,1),D(1,0)代入得:,解得:。
∴直線CD的解析式為:y=﹣x+1。
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+3,
將C(0,1)代入得:1=a×(﹣2)2+3,解得a=。
∴y=(x﹣2)2+3=x2+2x+1。
(3)證明:由題意可知,∠ECD=45°,
∵OC=OD,且OC⊥OD,∴△OCD為等腰直角三角形,∠ODC=45°。
∴∠ECD=∠ODC,∴CE∥x軸。
∴點(diǎn)C、E關(guān)于對(duì)稱軸(直線x=2)對(duì)稱,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,1)。
如答圖①所示,設(shè)對(duì)稱軸(直線x=2)與CE交于點(diǎn)F,

則F(2,1)。
∴ME=CM=QM=2。
∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形。
∴∠QEC=∠QCE=45°。
又∵△OCD為等腰直角三角形,
∴∠ODC=∠OCD=45°。
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°。∴△CEQ∽△CDO。
(4)存在。
如答圖②所示,作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″,連接C′C″,交OD于點(diǎn)F,交QE于點(diǎn)P,則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知,△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度。
(證明如下:不妨在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F′,在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P′,連接F′C″,F(xiàn)′P′,P′C′.
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知,△P′CF′的周長(zhǎng)=F′C″+F′P′+P′C′。
而F′C″+F′P′+P′C′是點(diǎn)C′,C″之間的折線段,
由兩點(diǎn)之間線段最短可知:F′C″+F′P′+P′C′>C′C″,即△P′CF′的周長(zhǎng)大于△PCE的周長(zhǎng)。)
如答圖③所示,連接C′E,

∵C,C′關(guān)于直線QE對(duì)稱,△QCE為等腰直角三角形,
∴△QC′E為等腰直角三角形。
∴△CEC′為等腰直角三角形。
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4,5)。
∵C,C″關(guān)于x軸對(duì)稱,∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為(﹣1,0)。
過(guò)點(diǎn)C′作C′N⊥y軸于點(diǎn)N,則NC′=4,NC″=4+1+1=6,
在Rt△C′NC″中,由勾股定理得:
。
綜上所述,在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中,△PCF的周長(zhǎng)存在最小值,最小值為。

解析

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

某文具店銷售一種進(jìn)價(jià)為10元/個(gè)的簽字筆,物價(jià)部門規(guī)定這種簽字筆的售價(jià)不得高于14元/個(gè),根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn):以12元/個(gè)的價(jià)格銷售,平均每周銷售簽字筆100個(gè);若每個(gè)簽字筆的銷售價(jià)格每提高1元,則平均每周少銷售簽字筆10個(gè). 設(shè)銷售價(jià)為x元/個(gè).
(1)該文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為           個(gè)(用含x的式子表示);
(2)求該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤(rùn)w(元)與銷售價(jià)x(元/個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)x取何值時(shí),該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,拋物線與x軸交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)試判斷△BCD的形狀,并說(shuō)明理由.
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)為(3,4)的拋物線交 y軸與A點(diǎn),交x軸與B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-5).

(1)求此拋物線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線與點(diǎn)D,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切,請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸與⊙C的位置關(guān)系,并給出證明.
(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形.若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線的頂點(diǎn)為A,與y軸的交點(diǎn)為B,連結(jié)AB,AC⊥AB,交y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D,使AD=AC,連結(jié)BD.作AE∥x軸,DE∥y軸.

(1)當(dāng)m=2時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求DE的長(zhǎng)?
(3)①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?②過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線,與第(3)①題確定的函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P,當(dāng)m為何值時(shí),以,A,B,D,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)取點(diǎn)E(,0)和點(diǎn)F(0,),直線l經(jīng)過(guò)E、F兩點(diǎn),點(diǎn)G是線段BD的中點(diǎn).
①點(diǎn)G是否在直線l上,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②在拋物線上是否存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù)是常數(shù))
(1)若該函數(shù)的圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn),求的值;
(2)若點(diǎn)在某反比例函數(shù)的圖像上,要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是的增大而增大,求應(yīng)滿足的條件以及的取值范圍;
(3)設(shè)拋物線軸交于兩點(diǎn),且,,在軸上,是否存在點(diǎn)P,使△ABP是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P及△ABP的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(2013年四川南充8分)如圖,二次函數(shù)y=x2+bx-3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),交y軸于點(diǎn)C,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(b-2,2b2-5b-1).

(1)求這條拋物線的解析式;
(2)⊙M過(guò)A、B、C三點(diǎn),交y軸于另一點(diǎn)D,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)連接AM、DM,將∠AMD繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn),兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F,若△DMF為等腰三角形,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn).

(1)求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)記一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y1,二次函數(shù)的函數(shù)值為y2.若y1>y2,求x的取值范圍;
(3)在該拋物線上存在幾個(gè)點(diǎn),使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形?并求出不少于3個(gè)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案