我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．在學(xué)習(xí)《中點(diǎn)四邊形》時(shí)，小明和小亮產(chǎn)生了很大的意見(jiàn)分歧：
小明說(shuō)：如果一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形；
小亮說(shuō)：如果一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則原四邊形一定是對(duì)角線相等的四邊形，而不一定是矩形．
（1）你認(rèn)為誰(shuí)的觀點(diǎn)錯(cuò)誤的，請(qǐng)畫(huà)圖舉一個(gè)反例，并作簡(jiǎn)單說(shuō)明______．
（2）如果該四邊形的對(duì)角線互相垂直，則中點(diǎn)四邊形為_(kāi)_____．
（3）如果該四邊形的對(duì)角線相等，則中點(diǎn)四邊形為_(kāi)_____．
（4）如果該四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，則中點(diǎn)四邊形為_(kāi)_____．

【答案】分析：（1）中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)；
（2）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形的形狀為菱形；
（3）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形的形狀為矩形；
（4）如果該四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，則中點(diǎn)四邊形為 正方形．
解答：解：（1）我認(rèn)為小明的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，反例如圖所示．
在等腰梯形ABCD中
AC=BD，
∵M(jìn)、Q是AB、AD的中點(diǎn)，
∴MQ∥BD，MQ=BD，
同理NP∥BD，NP=BD，
可得四邊形MNPQ是平行四邊形，
再由MN=PN可得四邊形MNPQ是菱形，

（2）∵四邊形的對(duì)角線互相垂直，
∴它的中點(diǎn)四邊形為矩形，

（3）∵四邊形的對(duì)角線相等，
∴它的中點(diǎn)四邊形為菱形，

（4）∵四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，
∴它的中點(diǎn)四邊形為正方形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)及特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是牢記中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等邊三角形面積的方法：如圖（1），在△ABC中，AB=AC，把底邊BC分成m等份，連接頂點(diǎn)A和底邊BC各等分點(diǎn)的線段，即可把這個(gè)三角形的面積m等分．
問(wèn)題的提出：任意給定一個(gè)正n邊形，你能把它的面積m等分嗎？
探究與發(fā)現(xiàn)：為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手：怎樣從正三角形的中一心（正多邊形的各對(duì)稱軸的交點(diǎn)，又稱為正多邊形的中心）引線段，才能將這個(gè)正三角形的面積m等分？
如果要把正三角形的面積四等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點(diǎn)（如圖（2），這些線段將這個(gè)正三角形分成了三個(gè)全等的等腰三角形）；再把所得的每個(gè)等腰三角形的底邊四等分，連接中心和各邊等分點(diǎn)（如圖（3），這些線段把這個(gè)正三角形分成了12個(gè)面積相等的小三角形）；最后，依次把相鄰的三個(gè)小三角形拼合在一起（如圖（4））．這樣就把正三角形的面積四等分．

（1）實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證：依照上述方法，利用刻度尺，在圖（5）中畫(huà)出一種將正三角形的面積五等分的簡(jiǎn)單示意圖；
（2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個(gè)正三角形的面積m等分？敘述你的分法并說(shuō)明理由；
（3）拓展與延伸：怎樣從正方形的中心引線段，才能將這個(gè)正方形的面積m等分？（敘述方法即可，不需說(shuō)明理由）
（4）向題解決：怎樣從正n邊形的中心引線段，才能將這個(gè)正n邊形的面積m等分？（敘述分法即可，不需說(shuō)明理由）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等邊三角形面積的方法：如圖（1），在△ABC中，AB=AC，把底邊BC分成m等份，連接頂點(diǎn)A和底邊BC各等分點(diǎn)的線段，即可把這個(gè)三角形的面積m等分．
問(wèn)題的提出：任意給定一個(gè)正n邊形，你能把它的面積m等分嗎？
探究與發(fā)現(xiàn)：為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手：怎樣從正三角形的中一心（正多邊形的各對(duì)稱軸的交點(diǎn)，又稱為正多邊形的中心）引線段，才能將這個(gè)正三角形的面積m等分？
如果要把正三角形的面積四等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點(diǎn)（如圖（2），這些線段將這個(gè)正三角形分成了三個(gè)全等的等腰三角形）；再把所得的每個(gè)等腰三角形的底邊四等分，連接中心和各邊等分點(diǎn)（如圖（3），這些線段把這個(gè)正三角形分成了12個(gè)面積相等的小三角形）；最后，依次把相鄰的三個(gè)小三角形拼合在一起（如圖（4））．這樣就把正三角形的面積四等分．

（1）實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證：依照上述方法，利用刻度尺，在圖（5）中畫(huà)出一種將正三角形的面積五等分的簡(jiǎn)單示意圖；
（2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個(gè)正三角形的面積m等分？敘述你的分法并說(shuō)明理由；
（3）拓展與延伸：怎樣從正方形的中心引線段，才能將這個(gè)正方形的面積m等分？（敘述方法即可，不需說(shuō)明理由）
（4）向題解決：怎樣從正n邊形的中心引線段，才能將這個(gè)正n邊形的面積m等分？（敘述分法即可，不需說(shuō)明理由）．

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