Question

【題目】如圖①，在中，，cm，動點以2cm/s的速度在的邊上沿的方向勻速運動，動點在的邊上沿的方向勻速運動，、兩點同時出發(fā)，5s后，點到達終點，點立即停止運動(此時點尚未到達點).設(shè)點運動的時間為(s)，的面積為(cm2)，與的函數(shù)圖像如圖②所示.

(1)圖①中 cm，點運動的速度為 cm/s;

(2)求函數(shù)的最大值;

(3)當(dāng)為何值時，以、、為頂點的三角形與相似?請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AC=8cm,點運動的速度為5÷5=1cm/s;

（2）當(dāng)t=4時,函數(shù)的最大值S=

（3） t=或t=

【解析】

（1）由勾股定理求得AC的長，再利用的面積為9,得,即可解題；（2）過點P作PH⊥AC于H,證明△AHP∽△ACB得,求出邊長表示S△APQ==,整理成頂點式即可解題；（3）分兩種情況討論當(dāng)∠PQA=90°時,當(dāng)∠QPA=90°時,見詳解.

解：（1）∵動點以2cm/s的速度運動了5秒到B點, 如下圖,

∴AB=10cm,

∵，cm，

∴AC=8cm（勾股定理）

由圖2可知當(dāng)時間為5秒時,的面積為9,

即,

∵BC=CP=6,

∴AQ=3,CQ=8-3=5,

∴點運動的速度為5÷5=1cm/s;

（2）如下圖,過點P作PH⊥AC于H,

易證△AHP∽△ACB,

∴,

∴,解得：PH=

∵CQ=t,

∴AQ=8-t,

∴S△APQ===

∴當(dāng)t=4時,函數(shù)的最大值S=

（3）分兩種情況,當(dāng)∠PQA=90°時,如下圖,

△AQP∽△ACB,

∴,,解得：t=；

當(dāng)∠QPA=90°時,如下圖,

△AQP∽△ABC,

∴,,解得：t=；

綜上, t=或t=時以、、為頂點的三角形與相似.