Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形．AB＝5，點P是對角線AC上任意一點，E、F分別是AB、BC邊上的中點．當點P在線段AC上移動時，則PE+PF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

設AC交BD于O，作E關于AC的對稱點N，連接NF，交AC于P，則此時EP+FP的值最小，根據(jù)菱形的性質推出N是AD中點，P與O重合，推出PE+PF＝NF＝AB．

解：設AC交BD于O，作E關于AC的對稱點N，連接NF，交AC于P，則此時EP+FP的值最小，

∴PN＝PE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，

∵E為AB的中點，

∴N在AD上，且N為AD的中點，

∵AD∥CB，

∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP，

∵AD＝BC，N為AD中點，F為BC中點，

∴AN＝CF，

在△ANP和△CFP中

，

∴△ANP≌△CFP（ASA），

∴AP＝CP，

即P為AC中點，

∵O為AC中點，

∴P、O重合，

即NF過O點，

∵AN∥BF，AN＝BF，

∴四邊形ANFB是平行四邊形，

∴NF＝AB＝5，

即PE+PF的最小值是5，

故答案為：5．