【題目】如圖1~4,在直角邊分別為3和4的直角三角形中,每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內(nèi)切圓,依此類推,圖10中有10個直角三角形的內(nèi)切圓,它們的面積分別記為S1 , S2 , S3 , …,S10 , 則S1+S2+S3+…+S10=
【答案】π
【解析】解:(1)圖1,
過點O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足為E、F,則∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四邊形OECF為矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF為正方形
設(shè)圓O的半徑為r,則OE=OF=r,AD=AE=3﹣r,BD=4﹣r
∴3﹣r+4+r=5,r= =1
∴S1=π×12=π
2)圖2,
由S△ABC= ×3×4= ×5×CD
∴CD=
由勾股定理得:AD= = ,BD=5﹣ =
由(1)得:⊙O的半徑= = ,⊙E的半徑= =
∴S1+S2=π× +π× =π
3)圖3,
由S△CDB= × × = ×4×MD
∴MD=
由勾股定理得:CM= = ,MB=4﹣ =
由(1)得:⊙O的半徑= ,:⊙E的半徑= = ,:⊙F的半徑= =
∴S1+S2+S3=π× +π× +π× =π
∴圖4中的S1+S2+S3+S4=π
則S1+S2+S3+…+S10=π
故答案為:π.
(1)圖1,作輔助線構(gòu)建正方形OECF,設(shè)圓O的半徑為r,根據(jù)切線長定理表示出AD和BD的長,利用AD+BD=5列方程求出半徑r= (a、b是直角邊,c為斜邊),運用圓面積公式=πr2求出面積=π;(2)圖2,先求斜邊上的高CD的長,再由勾股定理求出AD和BD,利用半徑r= (a、b是直角邊,c為斜邊)求兩個圓的半徑,從而求出兩圓的面積和=π;(3)圖3,繼續(xù)求高DM和CM、BM,利用半徑r= (a、b是直角邊,c為斜邊)求三個圓的半徑,從而求出三個圓的面積和=π;綜上所述:發(fā)現(xiàn)S1+S2+S3+…+S10=π.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,平行四邊形ABCD中,∠B=60°,將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60°角的頂點始終與點C重合,角的兩邊所在的兩直線分別交線段AB、AD于點E、F(不包括線段的端點).
(1)問題發(fā)現(xiàn):
如圖1,若平行四邊形ABCD為菱形,
試猜想線段AE、AF、AC之間的數(shù)量關(guān)系 ,請證明你的猜想.
(2)類比探究:
如圖2,若AB:AD=1:2,過點C作CH⊥AD于點H,求AE:FH的比值;
(3)拓展延伸:
如圖3,若AB:AD=1:4,請直接寫出(AE+4AF):AC的比值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于坐標平面內(nèi)的點,現(xiàn)將該點向右平移1個單位,再向上平移2的單位,這種點的運動稱為點A的斜平移,如點P(2,3)經(jīng)1次斜平移后的點的坐標為(3,5),已知點A的坐標為(1,0).
(1)分別寫出點A經(jīng)1次,2次斜平移后得到的點的坐標.
(2)如圖,點M是直線l上的一點,點A關(guān)于點M的對稱點的點B,點B關(guān)于直線l的對稱軸為點C.
①若A、B、C三點不在同一條直線上,判斷△ABC是否是直角三角形?請說明理由.
②若點B由點A經(jīng)n次斜平移后得到,且點C的坐標為(7,6),求出點B的坐標及n的值.
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【題目】如圖,正方形ABCD的對角線相交于點O,點M,N分別是邊BC,CD上的動點(不與點B,C,D重合),AM,AN分別交BD于點E,F(xiàn),且∠MAN始終保持45°不變.
(1)求證: = ;
(2)求證:AF⊥FM;
(3)請?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中,當∠BAM等于多少度時,∠FMN=∠BAM?寫出你的探索結(jié)論,并加以證明.
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【題目】直角△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,兩等圓⊙A,⊙B外切,那么圖中兩個扇形(陰影部分)的面積是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,點F在AC的延長線上,且∠CBF= ∠CAB.
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小敏家廚房一墻角處有一自來水管,裝修時為了美觀,準備用木板從AB處將水管密封起來,互相垂直的兩墻面與水管分別相切于D,E兩點,經(jīng)測量AD=10cm,BE=15cm, 則該自來水管的半徑為( )cm.
A.5
B.10
C.6
D.8
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【題目】如圖,一樓房AB后有一假山,其斜坡CD坡比為1: ,山坡坡面上點E處有一休息亭,測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=6米,與亭子距離CE=20米,小麗從樓房頂測得點E的俯角為45°.
(1)求點E距水平面BC的高度;
(2)求樓房AB的高.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù) ≈1.414, ≈1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓O上的兩點,且OD∥BC,OD與AC交于點E.
(1)若∠B=80°,求∠CAD的度數(shù);
(2)若AB=8,AC=6,求DE的長.
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