Question

【題目】如果兩個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，我們就稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”，如圖所示二次函數(shù)y1 = x2 + 2x + 2與y2 = x2 - 2x + 2是“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”．

（1）二次函數(shù)y = 2（x + 2）2 + 1的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為 ；二次函數(shù)y = a（x - h）2 + k的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為 ；

（2）如備用圖，平面直角坐標(biāo)系中，記“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”的圖象與y軸的交點(diǎn)為A，它們的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B，C，且BC=6，順次連接點(diǎn)A，B，O，C得到一個(gè)面積為24的菱形，求“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式．

（3）在第（2）題的情況下，如果M是兩個(gè)拋物線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A，O，C，M為頂點(diǎn)能否構(gòu)成梯形. 若能，求出此時(shí)M坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y = 2（x - 2）2 + 1 ， y = a（x + h）2 + k ；（2）y=（x-3）2+4；（3）M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）

【解析】

（1）根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”的定義即可求解；

（2）根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”，菱形的面積，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，圖象與y軸的交點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；

（3）根據(jù)題意分①若AO∥CM， ②若AC∥OM，③若OC∥AM，分別聯(lián)立函數(shù)求解即可.

（1）二次函數(shù)y = 2（x + 2）2 + 1的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為y = 2（x - 2）2 + 1；二次函數(shù)y = a（x - h）2 + k的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為y = a（x + h）2 + k，

故填：y = 2（x - 2）2 + 1，y = a（x + h）2 + k ；

（2）由BC=6，順次連接點(diǎn)A，B，O，C得到一個(gè)面積為24的菱形，由菱形面積公式得OA=8，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），

∵菱形ABOC

∴ - xB = xC yB = yA

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，4），

設(shè)一個(gè)拋物線的解析式為y=a（x+3）2+4，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得9a+4=8，

解得a=，

∴y=（x+3）2+4關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式y=（x-3）2+4．

（3）①若AO∥CM，則xM = xC = 3，

把xM = 3代入上述兩個(gè)拋物線解析式，解得y1 = 20， y2 = 4

∵C（3,4），∴y2 = 4舍去，

∴M1（3,20）

②若AC∥OM，

∵lAC：，∴lOM：

與拋物線聯(lián)立方程或

或無(wú)解

∵B（-3,4），∴舍去，

∴M2（-6,8）

③若OC∥AM

∵lOC：，∴lAM：

同②解得

∵A（0，8）

∴M3（9,20）

綜上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）