22、已知,△ABC是等邊三角形,將一塊含有30°角的直角三角板DEF如圖放置,讓三角板在BC所在的直線(xiàn)上向右平移,如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)A恰好落在三角形的斜邊DF上.
(1)利用圖1證明:EF=2BC;
(2)在三角板的平移過(guò)程中,在圖2中線(xiàn)段EB=AH是否始終成立(假定AB,AC與三角板斜邊的交點(diǎn)為G、H)?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由?
分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),得∠ACB=60°,AC=BC.結(jié)合三角形外角的性質(zhì),得∠CAF=60°-30°=30°,則CF=AC,從而證明結(jié)論;
(2)根據(jù)(1)中的證明方法,得到CH=CF.根據(jù)(1)中的結(jié)論,知BE+CF=AC,從而證明結(jié)論.
解答:解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°
∴∠CAF=60°-30°=30°.
∴∠CAF=∠F,
∴CF=AC,
∴CF=AC=EC,
∴EF=2BC.(4分)

(2)成立.       (1分)
根據(jù)(1)中證CF=AC的方法,同理,得CH=CF.
∵EF=2BC,
∴BE+CF=BC.
又∵AH+CH=AC,AC=BC,
∴AH=BE.(9分)
點(diǎn)評(píng):此題綜合運(yùn)用了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì).
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某“研究性學(xué)習(xí)小組”遇到了以下問(wèn)題,請(qǐng)參與:
已知,△ABC是等邊三角形且內(nèi)接于⊙O,取
AB
上異于A(yíng)、B的點(diǎn)M.設(shè)直線(xiàn)CA與BM相交于點(diǎn)K,直線(xiàn)CB與AM相交于點(diǎn)N.
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(1)如圖1,圖2,圖3,M分別為
AB
的中點(diǎn)、三分之一點(diǎn)、四分之一點(diǎn),△ABC的邊長(zhǎng)均為2,分別測(cè)量出AK、BN的長(zhǎng),計(jì)算AK•BN的值(精確到0.01)并將結(jié)果填入下表中:
  △ABC的邊長(zhǎng)  AK•BN的值 
 圖1  
 圖2  2  
 圖3  2  
(2)如圖4,當(dāng)M為
AB
上任意一點(diǎn)時(shí),根據(jù)(1)的結(jié)果,猜想AK•BN與AB的數(shù)量關(guān)系式為
 
;
(3)對(duì)(2)中提出的猜想,依圖4給出證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,現(xiàn)給出四個(gè)論斷:①DB=DE;②CE=CD;③BD是△ABC的中線(xiàn);④△ABC是等邊三角形.請(qǐng)以其中的三個(gè)為條件,余下的一個(gè)為結(jié)論,組成一個(gè)正確的命題(只需寫(xiě)出一種),并給予證明.
已知:
△ABC是等邊三角形
△ABC是等邊三角形
,
BD是△ABC中線(xiàn)
BD是△ABC中線(xiàn)
CD=CE
CD=CE

求證:
DB=DE
DB=DE

證明:

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)(端點(diǎn)B、C除外),以AD為邊作等邊△ADF,連接CF.
(1)如圖1,點(diǎn)D在點(diǎn)C右邊,①求證:BD=CF;②求∠FCD的度數(shù);
(2)如圖2,點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊,點(diǎn)F在直線(xiàn)BC下方,請(qǐng)先補(bǔ)全圖形,并直接給出∠AFC與∠DAC之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式為
∠AFC+∠DAC=120°
∠AFC+∠DAC=120°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:△ABC是等邊三角形,△BDC是等腰三角形,其中∠BDC=120°,過(guò)點(diǎn)D作∠EDF=60°,分別交AB于E,交AC于F,連接EF.
(1)若BE=CF,求證:①△DEF是等邊三角形;②BE+CF=EF.
(2)若BE≠CF,即E、F分別是線(xiàn)段AB,AC上任意一點(diǎn),BE+CF=EF還會(huì)成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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