Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，⊙O₁的弦AC與⊙O₂相切，P是

AmC

的中點，PA、PB的延長線分別交⊙O₂于點E、F，PB交AC于D．
（1）求證：PC∥AF；
（2）求證：AE•PC=BE•PD；
（3）若A是PE的中點，則⊙O₁與⊙O₂是否是等圓？若不是等圓，請說明理由；若是等圓，請給出證明．

Answer 1

分析：（1）欲證PC∥AF，可以證明∠AFB=∠CPB．
（2）欲證AE•PC=BE•PD，即AE：BE=PD：PC，可以證明∠FPC=∠AEB，∠PDC=∠EAB，從而證明△PCD∽△EBA得出；
（3）⊙O₁與⊙O₂是否是等圓，即直徑是否相等．A是PE的中點，可以證明PB，EB分別是⊙O₁，⊙O₂的直徑，它們所在的直角三角形中兩直角邊分別相等，得出PB=BE，⊙O₁與⊙O₂是等圓．

解答：（1）證明：連接AB，PC．
∵AC與⊙O₂相切，∴∠CAB=∠AFB．
∵∠CPB=∠CAB，∴∠AFB=∠CPB．
∴PC∥AF；

（2）證明：連BE，BC，
∵PC∥AF，∴∠CPD=∠AFP．
∵∠AFB=∠AEB，∴∠FPC=∠AEB．
∵∠PDC=∠ACB+∠CBD，∠EAB=∠APD+∠ABP，∠ACB=∠APD，∠CBD=∠ABP，
∴∠PDC=∠EAB．
∴△PCD∽△EBA．
∴PC：PD=EB：EA，
∴AE•PC=BE•PD；

（3）解：AC與⊙O₂相切，∠CAF=∠E，P是

AmC

的中點，
∴∠PAC=∠PCA．
∵PC∥AF，∴∠PCA=∠CAF．
∴∠PAC=∠E．
∴AC∥EF．
∵A是PE的中點，∴PA=EA．
∴AD=CD．
∴四邊形PCFA是平行四邊形．
∴AF=PC，PA=AE=AF．
∴∠BFE=90°．∴∠BAE=90°=∠BAP．
∴PB，EB分別是⊙O₁，⊙O₂的直徑．
∴PB=BE，⊙O₁與⊙O₂是等圓．

點評：考查了平行線的判斷，相似三角形的判定和性質，圓的知識．此題是一個大綜合題，難度較大．