Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)P是線段BC下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過P作PD∥y軸交BC于點(diǎn)D，以PD為直徑的圓交BC于另一點(diǎn)E，求DE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)（2）中的DE取最大值時(shí)，將△PDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）m=2時(shí)，DE有最大值，此時(shí)P；（3），或E或

【解析】

（1）求出，，將與代入拋物線解析式即可求出、的值，進(jìn)而確定函數(shù)解析式；

（2）設(shè)，可得，利用P、D的坐標(biāo)表示出PD，再由點(diǎn)到直線距離公式求得線段PE的代數(shù)式，根據(jù)勾股定理求得線段DE的代數(shù)式，通過整理即可得到當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P落在坐標(biāo)軸上時(shí)，先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)；③；分別求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解：（1）在直線中，

當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，即

將，分別代入得：

，

解得：，

；

（2）設(shè)，

是線段下方，

，

直線的解析式為，

軸與交于點(diǎn)，

，

，

，則PE為點(diǎn)P到直線BC：的距離，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴，

當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)；

（3）由（2）可知，，，，；

①如圖1，當(dāng)P點(diǎn)落在如圖所示的位置，即，延長與軸交于點(diǎn)，

，，

∵，

，

，

∴，

過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)；

，

∴∠DE'G+∠E'DG=∠DE'G+∠P' E'H=90°，

∴∠E'DG=∠P' E'H，

∴△DGE'∽△E'HP'，

，

，

設(shè)，則，，，，

整理得：，解得：，

∴；

②如圖2，與關(guān)于對稱，

∴，

過點(diǎn)作軸垂線，過點(diǎn)D作DM⊥交的延長線于點(diǎn)M，

同理①得：△DME'∽△E'NP'，

∴，

，

設(shè)，則，，，，

∴，

整理得：，解得：，

∴；

③如圖3，在y軸上，

∵，

，

，

過點(diǎn)作，

設(shè)，則，，

在△中，

，

，

，

，

，

∴；

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P落在坐標(biāo)軸上時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或．