【題目】如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系
(2)將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖②,連接AE,請(qǐng)判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),請(qǐng)判斷(2)問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫(xiě)出證明過(guò)程;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)AF= AE
(2)

解:如圖②中,結(jié)論:AF= AE.

理由:連接EF,DF交BC于K.

∵四邊形ABFD是平行四邊形,

∴AB∥DF,

∴∠DKE=∠ABC=45°,

∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°,EK=ED,

∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°,

∴∠EKF=∠ADE,

∵∠DKC=∠C,

∴DK=DC,

∵DF=AB=AC,

∴KF=AD,

在△EKF和△EDA中,

,

∴△EKF≌△EDA,

∴EF=EA,∠KEF=∠AED,

∴∠FEA=∠BED=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

∴AF= AE


(3)

解:如圖③中,結(jié)論不變,AF= AE.

理由:連接EF,延長(zhǎng)FD交AC于K.

∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC,

∠ACE=(90°﹣∠KDC)+∠DCE=135°﹣∠KDC,

∴∠EDF=∠ACE,

∵DF=AB,AB=AC,

∴DF=AC

在△EDF和△ECA中,

,

∴△EDF≌△ECA,

∴EF=EA,∠FED=∠AEC,

∴∠FEA=∠DEC=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

∴AF= AE


【解析】解:(1)如圖①中,結(jié)論:AF= AE.

理由:∵四邊形ABFD是平行四邊形,
∴AB=DF,
∵AB=AC,
∴AC=DF,
∵DE=EC,
∴AE=EF,
∵∠DEC=∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF= AE.
故答案為AF= AE.
(1)如圖①中,結(jié)論:AF= AE,只要證明△AEF是等腰直角三角形即可.(2)如圖②中,結(jié)論:AF= AE,連接EF,DF交BC于K,先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可.(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF= AE,連接EF,延長(zhǎng)FD交AC于K,先證明△EDF≌△ECA,再證明△AEF是等腰直角三角形即可.

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例如;;

解答下列問(wèn)題:

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錯(cuò)誤變形的個(gè)數(shù)是( 。﹤(gè)

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