Question

已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為b，且|a+4|+（b-1）²=0，A、B之間的距離記作|AB|，定義：|AB|=|a-b|．
（1）求線段AB的長|AB|；
（2）設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)|PA|-|PB|=2時(shí)，求x的值；
（3）若點(diǎn)P在A的左側(cè)，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，當(dāng)P在A的左側(cè)移動(dòng)時(shí)，下列兩個(gè)結(jié)論：
①|(zhì)PM|+|PN|的值不變；②|PN|-|PM|的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請判斷出正確結(jié)論，并求其值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0，各項(xiàng)都為0；
（2）應(yīng)考慮到A、B、P三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能解題；
（3）利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系得出．

解答：解：（1）∵|a+4|+（b-1）²=0，
∴a=-4，b=1，
∴|AB|=|a-b|=5；
（2）當(dāng)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，
|PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-5≠2．
當(dāng)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，
|PA|-|PB|=|AB|=5≠2．
∴上述兩種情況的點(diǎn)P不存在．
當(dāng)P在A、B之間時(shí)，|PA|=|x-（-4）|=x+4，|PB|=|x-1|=1-x，
∵|PA|-|PB|=2，∴x+4-（1-x）=2．
∴x=-

1

2

，即x的值為-

1

2

；
（3）|PN|-|PM|的值不變，值為

5

2

．
∵|PN|-|PM|=

1

2

|PB|-

1

2

|PA|=

1

2

（|PB|-|PA|）=

1

2

|AB|=

5

2

，
∴|PN|-|PM|=

5

2

．

點(diǎn)評：本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時(shí)，要防止漏解．
利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．