Question

【題目】在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB＝2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可．

（2）

【解析】

（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可．

（2）求出∠ABE=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE，即可求出答案．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．

∵在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處，

∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．

在△ABE和△CDF中，∵，

∴△ABE≌△CDF（ASA）．∴AE=CF．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC．

∴DE=BF，DE∥BF．∴四邊形BFDE為平行四邊形．

（2）∵四邊形BFDE為為菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°．∴∠ABE=30°．

∵∠A=90°，AB=2，∴，．

∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=．