Question

【題目】如圖22，在∠AOB的兩邊OA，OB上分別取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于點C.求證：點C在∠AOB的平分線上．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

過點C分別作CG⊥OA于點G,CF⊥OB于點F,在△MOE和△NOD中,根據(jù)OM＝ON,∠MOE＝∠NOD,OE＝OD,可判定△MOE≌△NOD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得:S△MOE＝S△NOD,繼而可得S△MOE－S四邊形ODCE＝S△NOD－S四邊形ODCE,即S△MDC＝S△NEC.

由三角形面積公式得DM·CG＝EN·CF.由于OM＝ON,OD＝OE,所以DM＝EN,CG＝CF.

根據(jù)CG⊥OA,CF⊥OB,可證點C在∠AOB的平分線上．

證明：過點C分別作CG⊥OA于點G,CF⊥OB于點F,

如圖．

在△MOE和△NOD中,OM＝ON,∠MOE＝∠NOD,OE＝OD,

∴△MOE≌△NOD(SAS)，

∴S△MOE＝S△NOD,

∴S△MOE－S四邊形ODCE＝S△NOD－S四邊形ODCE,

即S△MDC＝S△NEC.

由三角形面積公式得DM·CG＝EN·CF.

∵OM＝ON,OD＝OE,

∴DM＝EN,

∴CG＝CF.

又∵CG⊥OA,CF⊥OB,

∴點C在∠AOB的平分線上．