Question

如圖，四邊形ABCD為菱形，點E為對角線AC上的一個動點，連結DE并延長交AB于點F，連結BE．

（1）如果①：求證∠AFD=∠EBC；

（2）如圖②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度數；

（3）若∠DAB=90°且當△BEF為等腰三角形時，求∠EFB的度數（只寫出條件與對應的結果）

[來源:學科網ZXXK]

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，

∴DC=CB，

在△DCE和△BCE中，              ，

∴△DCE≌△BCE（SAS），         ∴∠EDC=∠EBC，

∵DC∥AB，          ∴∠EDC=∠AFD，      ∴∠AFD=∠EBC；

（2）解：∵DE=EC，       ∴∠EDC=∠ECD，

設∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，則∠CBF=2x°，     由BE⊥AF得：2x+x=90°，     解得：x=30°，

∴∠DAB=∠CBF=60°；   

（3）分兩種情況：

①如圖1，當F在AB延長線上時，

∵∠EBF為鈍角，

∴只能是BE=BF，設∠BEF=∠BFE=x°，

可通過三角形內角形為180°得：

90+x+x+x=180，

解得：x=30，      ∴∠EFB=30°；

②如圖2，當F在線段AB上時，

∵∠EFB為鈍角，

∴只能是FE=FB，設∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，

可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，

得x+2x=90，

解得：x=30，      ∴∠EFB=120°，     

 綜上：∠EFB=30°或120°．

點評： 此題主要考查了四邊形綜合題，解題時，涉及到了菱形的性質、正方形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．