Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋2ax－3a的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）請(qǐng)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A ， B ；

（2）若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)這個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)．

①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

②若P為二次函數(shù)圖像位于第二象限部分上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ平行于y軸，交直線BC于點(diǎn)Q．連接OQ、AQ，是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使tan∠OQA＝？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）、B（－3，0）；（2）①y＝－x2－x＋；②存在，P（－，）

【解析】分析：（1）令y＝0，解關(guān)于x的方程，即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)AB的長(zhǎng)及拋線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出拋物線的解析式；

②利用函數(shù)三角函數(shù)及相似的判定與性質(zhì)即可求出答案.

詳解：（1）把y＝0代入二次函數(shù)y＝ax2＋2ax－3a，

，

∵，

∴，

解得，

∴A（1，0）、B（－3，0）；

（2）①∵拋物線頂點(diǎn)（－1，－4a），AB＝4，

∴－4a＝2，∴a＝－，

∴y＝－x2－x＋，

②存在一個(gè)點(diǎn)P（－，），使tan∠OQA＝，

∵＝ ＝，

∴tan∠ABQ＝，

∴∠OQA＝∠QBA，

∴△AQO∽△ABQ．

∴AQ2＝AO×AB＝4，

設(shè)點(diǎn)P（x，－x2－x＋），則Q（x， x＋），

∴（1－x）2＋（x＋）2＝4，

解得x＝－或x＝1（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－，）．