Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2-mx+n圖像的頂點(diǎn)為C（1，-4）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如點(diǎn)A是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸，P為垂足，求的最大值；

（3）已知點(diǎn)B（－1，－4），問(wèn)在的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使線(xiàn)段QB繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，且點(diǎn)恰好落在二次函數(shù)圖像上？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）

【解析】

（1）二次函數(shù)y=x2-mx+n圖像的頂點(diǎn)為C（1，-4），即可求m，n；

（2）作AP⊥x軸，設(shè)A（a，a2-2a-3），所以AP=-a2+2a+3，PO=a，可得AP+OP=-a2+3a+3=，由已知可知0＜a＜3，即可求；

（3）假設(shè)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B'作B'D⊥對(duì)稱(chēng)軸l于點(diǎn)D，可得∠B'DQ=90°；①當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的下方時(shí)，可證△BCQ≌△QDB'，設(shè)點(diǎn)Q（1，b），所以B'D=CQ=-4-b，QD=BC=2，可知B'（-3-b，2+b），可得，可求b=-5，Q（1，-5），②當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的上方時(shí)，同理可得Q（1，-2）．

（1）∵二次函數(shù)y=x2-mx+n圖像的頂點(diǎn)為C（1，-4），

∴

∴

∴

（2）作AP⊥x軸，設(shè)A（a，）

∵A在第四象限，

∴0＜a＜3，

∴

∴

∵0＜a＜3，

∴當(dāng)時(shí)AP+OP的最大值為

（3）假設(shè)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)D

∴

①當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的下方時(shí)

∵B（﹣1，﹣4），C（1，﹣4），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1

∴BC⊥l，BC=2，∠BCQ=90°

∴△BCQ≌△QDB'

∴B'D=CQ，QD=BC，

設(shè)點(diǎn)Q（1，b）

∴B'D=CQ=-4-b，QD=BC=2，

可知B'（-3-b，2+b），

∴

∴

∴b=-2或b=-5，

∵b＜-4，

∴Q（1，﹣5），

②當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的上方時(shí)，同理可得Q（1，﹣2）；

綜上所述：Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）；