Question

3．如圖，P、Q是矩形ABCD的邊BC和CD延長線上的兩點，AP與CQ相交于點E，且∠PAD=∠QAD，則下列五個結論：①DQ=DE；②∠BAP=∠AQE；③AQ⊥PQ；④EQ=2PC；⑤S_△APQ=S_矩形ABCD，其中正確的個數(shù)有（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是矩形，易證得△ADQ≌△ADE，即可得DQ=DE；利用等角的余角相等，可得∠BAP=∠AQE正確，又因為∠AQD不一定等于∠PQC，故AQ⊥PQ不能確定，DQ與CP的值沒法確定，EQ=2CP不一定正確；易證得△ADE∽△PCE，即可得DE•PC=EC•AD，即可得S_△APQ=S_矩形ABCD．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADQ=∠ADE=90°，
在△ADQ和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠QAD}\\{AD=AD}\\{∠ADQ=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△ADE（ASA），
∴DQ=DE；故①正確；
∵∠BAP+∠PAD=∠AQE+∠QAD=90°，∠PAD=∠QAD，
∴∠BAP=∠AQE，故②正確；
∵當∠AQD=∠PQC時，可得∠AQP=90°，
∴此兩角的值不能確定，故③錯誤；
∵DQ=DE，
∴EQ=2DQ，
∵DQ與CP不一定相等，故④錯誤；
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CPE，
∵∠AED=∠PEC，
∴△ADE∽△PCE，
∴AD：PC=DE：CE，
∴DE•PC=EC•AD，
∵S_△APQ=S_△AEQ+S_△PEQ=$\frac{1}{2}$QE•AD+$\frac{1}{2}$QE•PC=DE•AD+DE•PC
S_矩形ABCD=S_△ADE+S_{四邊形ABCE}=$\frac{1}{2}$DE•AD+$\frac{1}{2}$（EC+AB）•BC=$\frac{1}{2}$DE•AD+$\frac{1}{2}$（DE+2EC）•AD=$\frac{1}{2}$DE•AD+$\frac{1}{2}$DE•AD+EC•AD=DE•AD+EC•AD，
∴S_△APQ=S_矩形ABCD．故⑤正確．
故選B．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及三角形面積的求解方法．此題綜合性較強，難度較大，注意數(shù)形結合思想的應用．