Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在AC上方的拋物線上有一動點P．
①如圖1，當點P運動到某位置時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點P的坐標；

②如圖2，過點O，P的直線y=kx交AC于點E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點，

∴A點坐標是（﹣4，0），點C坐標是（0，4），

又∵拋物線過A，C兩點，

∴ ，解得： ，

∴拋物線的解析式為 ．

（2）

解：①如圖1

∵ ，

∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1．

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，PQ=AO=4．

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關于直線x=﹣1對稱，

∴P點的橫坐標是﹣3，

∴當x=﹣3時， ，

∴P點的坐標是 ；

②過P點作PF∥OC交AC于點F，

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

設點F（x，x+4，

∴ ，

化簡得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．

當x=﹣1時， ；當x=﹣3時， ，

即P點坐標是 或 ．

又∵點P在直線y=kx上，

∴ ．

【解析】（1）由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點A和點C的坐標，把A和C的坐標分別代入y=﹣ x2+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標，由（1）中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標，問題得解；
②過P點作PF∥OC交AC于點F，因為PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出PF的長，進而可設點點F（x，x+4），利用 ，可求出x的值，解方程求出x的值可得點P的坐標，代入直線y=kx即可求出k的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．