Question

【題目】如圖，C的內(nèi)接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB= ，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A（4,0）與點（-2,6）.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）直線m與C相切于點A，交y軸于點D，求證：AD//OB；
（3）在（2）的條件下，點P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動；點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當(dāng)PQ⊥AD時，求運動時間t的值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A（4,0）與點（-2,6），

∴

解得

所以拋物線的解析式為y= .

（2）

解：如圖，連接AC交OB于點E，連接OC，BC，

∵OC=BC，AB=AO，

∴AC⊥OB，

∴AD為切線，

∴AC⊥AD，

∴AD//OB.

（3）

解：∵tan∠AOB= ，

∴sin∠AOB= ，

∴AE=OA·sin∠AOB=4× =2.4，

∵AD//OB，

∴∠OAD=∠AOB，

∴OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4× =3，

當(dāng)PQ⊥AD時，OP=t，DQ=2t，

過O點作OF⊥AD于F，

在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，

由勾股定理得：DF= = =1.8，

∴t=1.8秒.

【解析】（1）將兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解出a，b的值即可；（2）連接AC交OB于點E，連接OC，BC，又由AO=AB，根據(jù)“垂徑定理”可得A平分弧OB，則AC⊥OB，又由AD為切線，則AC⊥AD，則AD//OB.（3）OP=t，DQ=2t，可過O點作OF⊥AD于F，則DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，所以只要求出DF即可，根據(jù)tan∠AOB= ，和AD//OB，AO=4可求出.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．