Question

（2013年四川綿陽12分）如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點C的坐標為（0，﹣2），交x軸于A、B兩點，其中A（﹣1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D．

（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標；

（2）在直線l上找點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求點P的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2。

∵y=ax²+bx+c過點A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2。

∴拋物線的解析式為y=2x²﹣2。

當y=0時，2x²﹣2=0，解得x=±1。

∴點B的坐標為（1，0）。

（2）設P（m，n），

∵∠PDB=∠BOC=90°，

∴當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：

①若△OCB∽△DBP，則，即，解得。

由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，

∴此時點P坐標為（m，）或（m，）。

②若△OCB∽△DPB，則，即，解得n=2m﹣2。

由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，

∴此時點P坐標為（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）。

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）。

（3）假設在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點Q（x，2x²﹣2），使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形．

如圖，過點Q作QE⊥l于點E，

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，

∴∠DBP=∠QPE。

在△DBP與△EPQ中，∵，

∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ。

分兩種情況：

①當P（m，）時，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²﹣2），

∴，解得或（均不合題意舍去）。

②當P（m，2m﹣2）時，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²﹣2），

∴，解得或（均不合題意舍去）。

綜上所述，不存在滿足條件的點Q。

【解析】（1）由于拋物線的頂點C的坐標為（0，﹣2），所以拋物線的對稱軸為y軸，且與y軸交點的縱坐標為﹣2，即b=0，c=﹣2，再將A（﹣1，0）代入y=ax²+bx+c，求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到點B的坐標。

（2）設P點坐標為（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，則D與O對應，所以當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況討論：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根據(jù)相似三角形對應邊成比例，得出n與m的關(guān)系式，進而可得到點P的坐標。

（3）假設在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點Q（x，2x²﹣2），使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形，過點Q作QE⊥l于點E．利用AAS易證△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分兩種情況討論：①P（m，）；②P（m，2m﹣2）。都根據(jù)BD=PE，DP=EQ列出方程組，求出x與m的值，再結(jié)合條件x＞0且m＞1即可判斷不存在第一象限內(nèi)的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形。

考點：二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標理性認識各式的關(guān)系，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，反證法的應用，分類思想的應用。