Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標為(﹣4，0)

（1）b=　　，點B的坐標是　　；

（2）連接AC、BC，判斷∠CAB和∠CBA的數(shù)量關系，并說明理由

（3）如圖2，點D是拋物線上第二象限內(nèi)的一動點，過點D作DM⊥AC于點M，是否存在點D，使得△CDM中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，寫出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）﹣，(，0)；（2）∠CBA=2∠CAB，見解析；（3）存在，-1與

【解析】

（1）把點A的坐標，代入函數(shù)解析式可求出b的值，代入y=0求出x值，進而可得出點B的坐標；

（2）作∠CBA的角平分線，交y軸于點E，過點E作EF⊥BC于點F，設OE=n，則CE=2-n，EF=n，利用面積法可求出n值，進而可得出==，結(jié)合∠AOC=90°=∠BOE可證出△AOC∽△BOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠CAO=∠EBO，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB，此題得解；

（3）過點D作DR⊥y垂足為R，DR交AC與點G，在AB上找點E使，分當=2時和當=2時兩種情況討論．

（1）把A（﹣4，0）代入得，

∴﹣﹣4b+2=0，

∴b=﹣．

當y=0時，有，

解得：x1=﹣4，x2=，

∴點B的坐標為（，0）．

故答案為：﹣；（，0）．

（2）∠CBA=2∠CAB，理由如下：

作∠CBA的角平分線，交y軸于點E，過點E作EF⊥BC于點F，如圖所示．

∵點B（，0），點C（0，2），

∴OB=，OC=2，BC=．

設OE=n，則CE=2﹣n，EF=n，

由面積法，可知：OBCE=BCEF，即（2﹣n）=n，

解得：n=．

∵==，∠AOC=90°=∠BOE，

∴△AOC∽△BOE，

∴∠CAO=∠EBO，

∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB

（3）如圖所示：過點D作DR⊥y垂足為R，DR交AC與點G，在AB上找點E使， 則DG∥AB，∠G=∠BAC，∠CEO=2∠BAC，

∵A（-4，0），B（，0），C（0，2），

在直角三角形EOC中，

即：

解得：OE=

∴=，=，

設D，

當=2時，

∵∠MCD=∠CDG+∠G

∴=，

∴

則

解得：=0（不符合題意，舍去），=-1，

∴點D的橫坐標是-1

當=2時，則∠CDM=∠CEO

∴

設CM=4k，DM=3k，則CD=5k，

=，則MG=6k，DG=，CG=2k，

∵AC=

∴

∴CR=，， ，

∴,

解得：=0（不符合題意，舍去），=，

點D的橫坐標是

綜上所述，點D的橫坐標是-1或