Question

（2012•蘇州模擬）如圖1，已知雙曲線y=

k1

x

（k₁＞0）與直線y=k₂x交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，2），則B點(diǎn)坐標(biāo)為

（-4，-2）

．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則B點(diǎn)坐標(biāo)為

（-m，-k₂m）或（-m，-

k1

m

）

（用含m和k₁或k₂的式子表示）；
（2）如圖2，過原點(diǎn)作另一條直線l，交雙曲線y=

k1

x

（k₁＞0）于P、Q兩點(diǎn)，說明四邊形APBQ是平行四邊形；
（3）設(shè)點(diǎn)A、P的橫坐標(biāo)分別為m、n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m、n應(yīng)滿足的條件；若不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖象性質(zhì)可知，點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由此可以求出A可求B坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理或?qū)ΨQ性易知OA=OB，OP=OQ因此四邊形APBQ一定是平行四邊形；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可以推出它們的可能性．

解答：解：（1）∵雙曲線和直線y=k₂x都是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，它們交于A，B兩點(diǎn)，
∴B的坐標(biāo)為（-4，-2），
（-m，-k₂m）或（-m，-

k1

m

）；
故答案為：（-4，-2）；（-m，-k₂m）或（-m，-

k1

m

）．


（2）由勾股定理OA=

m2+(k 2m)2

，
OB=

(-m)2+(-k 2m)2

=

m2+(k 2m)2

，
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
所以四邊形APBQ一定是平行四邊形；

（3）設(shè)點(diǎn)A、P橫坐標(biāo)分別為：m，n，
由（1）可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

k1

m

），點(diǎn)P坐標(biāo)為：（n，

k1

n

），
要OP=OA，
只要m²+

k 2 1

m2

=n²+

k 2 1

n2

，
可得mn=k₁（∵m、n、k₁均為正數(shù)），
∴當(dāng)mn=k₁時(shí)，OP=OA，
此時(shí)PQ=AB，四邊形APBQ是矩形；
四邊形APBQ不可能是正方形，
理由：點(diǎn)A，P不可能達(dá)到坐標(biāo)軸，即∠POA≠90°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，矩形和正方形的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．