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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(一1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)判斷ABC的形狀,證明你的結論;

(3)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,當ACM周長最小時,求點M的坐標及ACM的最小周長.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2x﹣2.頂點D的坐標為:(,﹣);(2)ABC是直角三角形.(3)3

【解析】

試題分析:(1)直接將(﹣1,0),代入解析式進而得出答案,再利用配方法求出函數頂點坐標;

(2)分別得出AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,進而利用勾股定理的逆定理得出即可;

(3)利用軸對稱最短路線求法得出M點位置,再求ACM周長最小值.

解:(1)點A(﹣1,0)在拋物線y=x2+bx﹣2上,

×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,

解得:b=﹣,

拋物線的解析式為y=x2x﹣2.

y=(x﹣2,

頂點D的坐標為:(,﹣);

(2)當x=0時y=﹣2,C(0,﹣2),OC=2.

當y=0時,x2x﹣2=0,

解得:x1=﹣1,x2=4,

B (4,0),

OA=1,OB=4,AB=5.

AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

AC2+BC2=AB2

∴△ABC是直角三角形.

(3)如圖所示:連接AM,

點A關于對稱軸的對稱點B,BC交對稱軸于點M,根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知,

MC+MA的值最小,即ACM周長最小,

設直線BC解析式為:y=kx+d,則,

解得:,

故直線BC的解析式為:y=x﹣2,

當x=時,y=﹣,

M,﹣),

ACM最小周長是:AC+AM+MC=AC+BC=+2=3

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