Question

6．如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若AB=3，AC=5，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABE≌△CDF，則DF=BE，然后可得到AF=EC，依據(jù)一組對邊平行且相等四邊形是平行四邊形可證明AECF是平行四邊形；
（2）由AB=3，AC=5，可得BC=4，設(shè)CE=x，則EM=4-x，CM=5-3=2，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四邊形的面積公式可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．
由翻折的性質(zhì)可知：∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCA．
∴∠EAB=∠DCA．
在△ABE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{AB=CD}\\{∠EAB=∠DCA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF，
∴DF=BE．
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）∵AB=3，AC=5，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
設(shè)CE=x，則EM=4-x，CM=5-3=2，
在Rt△CEM中，依據(jù)勾股定理得：（4-x）²+2²=x²，
解得：x=2.5，
∴四邊形AECF的面積的面積為：EC•AB=2.5×3=7.5．

點評 本題主要考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理和勾股定理等，綜合運用各定理是解答此題的關(guān)鍵．