Question

如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC于D，且AD=3，當(dāng)AB=6時(shí)，⊙O的面積最大，最大面積是

 

．

Answer 1

分析：由題意知，需作出圓的直徑AE，利用直徑所對的圓周角是直角，得出△ABD∽△AEC．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到邊之間的對應(yīng)比相等，建立函數(shù)關(guān)系式；
根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法，結(jié)合函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解．

解答：解：作直徑AE，連接CE，如圖所示，則∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90度．
又∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC
∴設(shè)⊙O的半徑為y，AB的長為x．∴

AB

AD

=

AE

AC

，即

x

3

=

2y

12-x

．
整理得y=-

1

6

（x-6）²+6．
∴y=-

1

6

（x-6）²+6，則當(dāng)x=6時(shí)，y取得最大值，最大值為6．
∴⊙O的最大面積為36π．
故答案為36π．

點(diǎn)評：此題主要考查三角形相似及二次函數(shù)最大值的求法．題目難度較大．