【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F,連接CF.

(1)求證:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)證明:∵AF∥BC,

∴∠AFE=∠DBE,

∵E是AD的中點,AD是BC邊上的中線,

∴AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△DBE中

∴△AFE≌△DBE(AAS),

∴AF=BD,

∴AF=DC.


(2)解:四邊形ADCF是菱形,

證明:AF∥BC,AF=DC,

∴四邊形ADCF是平行四邊形,

∵AC⊥AB,AD是斜邊BC的中線,

∴AD= BC=DC,

∴平行四邊形ADCF是菱形.


【解析】(1)由平行線的性質(zhì)可知:AF∥BC,得到∠AFE=∠DBE,又E是AD的中點,AD是BC邊上的中線,得到AE=DE,BD=CD,所以△AFE≌△DBE(AAS),AF=BD,即AF=DC;(2)AF∥BC,AF=DC,根據(jù)平行四邊形的定義得到四邊形ADCF是平行四邊形,又AC⊥AB,AD是斜邊BC的中線,得到AD= BC=DC,根據(jù)菱形的定義得到平行四邊形ADCF是菱形.

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