Question

（2007•廣州）一次函數(shù)y=kx+k過(guò)點(diǎn)（1，4），且分別與x軸、y軸交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)P（a，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q（0，b）在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥AB．
（1）求k的值，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出一次函數(shù)的圖象；
（2）求a、b滿足的等量關(guān)系式；
（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得到其一次函數(shù)的解析式，從而求得A、B的坐標(biāo)，據(jù)此即可畫(huà)出一次函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)已知可證明Rt△ABO∽R(shí)t△QPO，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，從而可求得a、b滿足的等量關(guān)系式；
（3）已知△APQ是等腰三角形而沒(méi)有明確指出是哪兩邊相等，從而要分兩種情況進(jìn)行分析，分別是AQ=PQ或AP=PQ再根據(jù)面積公式即可求得△APQ的面積．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4），
∴4=k×1+k，即k=2，∴y=2x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，
即A（-1，0），B（0，2），
如圖，直線AB是一次函數(shù)y=2x+2的圖象；

（2）∵PQ⊥AB
∴∠QPO=90°-∠BAO
又∵∠ABO=90°-∠BAO
∴∠ABO=∠QPO
∴Rt△ABO∽R(shí)t△QPO
∴，即
∴a=2b；

（3）由（2）知a=2b，∴AP=AO+OP=1+a=1+2b，
AQ²=OA²+OQ²=1+b²，PQ²=OP²+OQ²=a²+b²=（2b）²+b²=5b²，
若AQ=PQ，即AQ²=PQ²，則1+b²=5b²，即b=或（舍去），
此時(shí)，AP=2，OQ=，S_△APQ=×AP×OQ=×2×=（平方單位），
若AP=PQ，則1+2b=b，即b=2+，此時(shí)AP=1+2b=5+2，OQ=2+，
S_△APQ=×AP×OQ=×（5+2）×（2+）=10+（平方單位），
若AQ=AP，則（a+1）²=1+b²，解得b=-，因?yàn)辄c(diǎn)Q在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，故舍去；
∴△APQ的面積為平方單位或（10）平方單位．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的解析式，圖象及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力．