Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0）、B（0，4）、C（-2，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限內(nèi)，設(shè)△AMB的面積為S，試求S的最大值；
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷共有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)且以BO為其中一條底邊的四邊形是直角梯形，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)出拋物線解析式，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得出拋物線解析式；
（2）過點(diǎn)M作MC⊥OA于點(diǎn)C′，表示出四邊形BOAM的面積及△BOA的面積，繼而得出△AMB的面積，利用二次函數(shù)的最值求解可得出S的最大值；
（3）根據(jù)直角梯形的特點(diǎn)，結(jié)合題意要求OB為直角梯形的底邊，則梯形需要滿足∠B=90°或∠O=90°，分別畫出圖形，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：

16a+4b+c=0 4a-2b+c=0 c=4

，
解得：

a=- 1 2 b=1 c=4

．
故拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4．

（2）過點(diǎn)M作MC⊥OA于點(diǎn)C′，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-

1

2

x²+x+4），
則S_{四邊形BOAM}=S_{梯形BOC′M}+S_△MC′A=

1

2

（BO+C′M）×OC′+

1

2

AC′×C′M=

1

2

（4-

1

2

x²+x+4）x+

1

2

（4-x）×（-

1

2

x²+x+4）=-x²+4x+8；
S_△AOB=

1

2

OB×OA=8，
故S_△AMB=S_{四邊形BOAM}-S_△AOB=-x²+4x=-（x-2）²+4，
故當(dāng)x=2時(shí)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）時(shí)，△AMB的面積最大，最大值為4．

（3）
作直線y=-x，若以O(shè)B為底邊的直角梯形中，∠0=90°，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
則此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，2）；
若以O(shè)B為底邊的直角梯形中，∠B=90°，
過點(diǎn)B作OB的垂線，則于拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P的位置，
此時(shí)點(diǎn)的Q坐標(biāo)為（2，-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角梯形及三角形的面積，解答第二問的關(guān)鍵是根據(jù)S_△AMB=S_{四邊形BOAM}-S_△AOB表示出△AMB的面積，難點(diǎn)在第三問，注意OB為直角梯形的底邊這個(gè)限制條件．