Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊AC在x軸上，AC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知C（2,0），動點(diǎn)D從A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，速度為2個單位長度/秒，運(yùn)動時間為t，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E.

（1）當(dāng)OD⊥AB時，求E點(diǎn)坐標(biāo).

（2）過E做EF⊥BC，垂足為F，過F作FG⊥AB，垂足為G，請用含t的式子表示線段DG的長度.

（3）在（2）的條件下，作點(diǎn)C關(guān)于EF的對稱點(diǎn)H，連接HG并延長交直線DE于點(diǎn)Q，當(dāng)t為何值時，HQ=EQ，并求出此時DG的長度.

Answer 1

【答案】（1）E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

（2）DG的長度為或

（3）當(dāng)t為時，HQ=EQ，并求出此時DG的長度是2.

【解析】試題分析：

（1）OD⊥AB時，∠A=60°,OA=2，∴OD=OAsin60°=,

在Rt△ODE中，∠DOE=30°，∴OE= ODcos30°=,

∴E()

（2）

如圖：

AD=2t,則AE=t,EC=4-t,CF=2- ,BF=2+ ,BG=1+ ,

當(dāng)D、 G重合時，

AD+BG=4，即2t+1+ =4，t=；，

①當(dāng)時，

DG= AD+BG-4=2t+1+ -4=；

②當(dāng)時，

DG=4- (AD+BG)=4-(2t+1+ )=；

（3）

∵△ECH是等邊三角形，∠HEC=60°,

∴∠QEH=30°,

∵QE=QH,

∴∠QHE=30°,

∴∠QHF=90°,

∴∠QHB=90°,

∵∠GBH=60°,

∴∠BGH=30°,

由對稱可知BH=t,

在Rt△GBH中，BG=1+ ,∠BGH=30°,

∴BG=2BH,即2t=1+ ,

∴t=,DG==