Question

【題目】如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連接AD．
（1）求證：AD=AN；
（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵CD⊥AB

∴∠CEB=90°

∴∠C+∠B=90°，

同理∠C+∠CNM=90°

∴∠CNM=∠B，

∵∠CNM=∠AND

∴∠AND=∠B，

∵ ，

∴∠D=∠B，

∴∠AND=∠D，

∴AN=AD；

（2）解：設(shè)OE的長為x，連接OA

∵AN=AD，CD⊥AB

∴DE=NE=x+1，

∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，

∴OA=OD=2x+1，

∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，

∴x2+42=（2x+1）2．

解得x= 或x=﹣3（不合題意，舍去），

∴OA=2x+1=2× +1= ，

即⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性質(zhì)得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)垂徑定理求出AE的長，設(shè)NE=x，則OE=x﹣1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x﹣1連結(jié)AO，則AO=OD=2x﹣1，在Rt△AOE中根據(jù)勾股定理可得出x的值，進而得出結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和垂徑定理的相關(guān)知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．