【題目】在菱形ABCD中,∠BAD=60°
(1) 如圖1,點E為線段AB的中點,連接DE、CE.若AB=4,求線段EC的長
(2) 如圖2,M為線段AC上一點(不與A、C重合),以AM為邊向上構(gòu)造等邊三角形AMN,線段MN與AD交于點G,連接NC、DM,Q為線段NC的中點,連接DQ、MQ,判斷DM與DQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論
(3) 在(2)的條件下,若AC=,請你直接寫出DM+CN的最小值
【答案】(1)EC=2;(2)證明見解析;(3)2
【解析】
(1)如圖1,連接對角線BD,先證明△ABD是等邊三角形,根據(jù)E是AB的中點,由等腰三角形三線合一得:DE⊥AB,利用勾股定理依次求DE和EC的長;
(2)如圖2,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,先證明△ADH是等邊三角形,再由△AMN是等邊三角形,得條件證明△ANH≌△AMD(SAS),則HN=DM,根據(jù)DQ是△CHN的中位線,得HN=2DQ,由等量代換可得結(jié)論.
(3)先判斷出點N在CD的延長線上時,CN+DM最小,最小為CH,再判斷出∠ACD=30°,即可用三角函數(shù)求出結(jié)論.
(1)如圖1,連接BD,則BD平分∠ABC,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180,
∵∠A=60,
∴∠ABC=120,
∴ABD是等邊三角形,
∴BD=AD=4,
∵E是AB的中點,
由勾股定理得:DE=2,
∵DC∥AB,
∴∠EDC=∠DEA=90,
在RtDEC中,
EC=2
(2)如圖2,延長CD至H,使CD=DH,連接NH、AH,
∵AD=CD,
∴AD=DH,
∵CD∥AB,
∴∠HDA=∠BAD=60,
∴ADH是等邊三角形,
∴AH=AD, ∠HAD=60,
∵AMN是等邊三角形,
∴AM=AN, ∠NAM=60,
∴∠HAN=∠DAM,
∴ANH≌AMD,
∴HN=DM,
∵D是CH的中點,Q是NC的中點,
∴DQ是CHN的中位線,
∴HN=2DQ,
∴DM=2DQ
(3) 如圖2,由(2)知,HN=DM,
∴要CN+DM最小,便是CN+HN最小,
即:點C,H,N在同一條線上時,CN+DM最小,
此時,點D和點Q重合,
即:CN+DM的最小值為CH,
如圖3,
由(2)知,△ADH是等邊三角形,
∴∠H=60°.
∵AC是菱形ABCD的對角線,
∴∠ACD=∠BCD=∠BAD=30°,
∴∠CAH=180°-30°-60°=90°,
在Rt△ACH中,CH==2,
∴DM+CN的最小值為2.
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【題目】在如圖的正方形網(wǎng)格中,每一個小正方形的邊長為1.格點三角形(頂點是網(wǎng)格線交點的三角形)的頂點的坐標(biāo)分別是.
(1)請在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系;
(2)請畫出關(guān)于軸對稱的;
(3)請在軸上求作一點,使的周長最小,并寫出點的坐標(biāo).
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點.
(1)求k的值;
(2)如果點P在y軸上,且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形,直接寫出點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=12,點E是AD上的一點,AE=6,BE的垂直平分線交BC的延長線于點F,連接EF交CD于點G.若G是CD的中點,則BC的長是__________.
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【題目】小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù) 的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.
下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完整:
(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù),x與y的幾組對應(yīng)數(shù)值如下表:
其中m=__________;
(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點,根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(3)觀察函數(shù)圖象,寫出一條該函數(shù)的性質(zhì);
(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn):
①方程有個互不相等的實數(shù)根;
②有兩個點(x1,y1)和(x2,y2)在此函數(shù)圖象上,當(dāng)x2>x1>2時,比較y1和y2的大小關(guān)系為:
y1________y2 (填“>”、“<”或“=”);
③若關(guān)于x的方程有4個互不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是________.
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【題目】(1)計算:
①
② -10 - (-31)
③1÷(﹣)×;
④(-2)2×5+(-2)3÷4
⑤
(2)比較大小
①1.5與4 ②2與-7
③與 ④ 與
(3)用簡便方法計算:
①
②
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【題目】在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,P為BC邊上一點,△APD為等腰三角形.
(1)小明畫出了一個滿足條件的△APD,其中PA=PD,如圖1所示,則tan 的值為 ;
(2)請你在圖2中再畫出一個滿足條件的△APD(與小明的不同),并求此時tan 的值.
圖1 圖2
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【題目】如圖,已知線段AB=2,點P是線段AB上一點,分別以AP、BP為邊作兩個正方形.
(1)如果APx,求兩個正方形的面積之和S;
(2)當(dāng)點P是AB的中點時,求兩個正方形的面積之和S1;
(3)當(dāng)點P不是AB的中點時,比較(1)中的S與(2)中S1的大小.
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【題目】如圖,正方形ABCD和直角△ABE,∠AEB=90°,將△ABE繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDF
(1) 在圖中畫出點O和△CDF,并簡要說明作圖過程
(2) 若AE=12,AB=13,求EF的長
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