Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y=kx+n（k≠0）經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．

（1）分別求直線BC和拋物線的解析式（關(guān)系式）；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（0，3），即OC=3，BC=5，

∴在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得：OB= =4，即B（4，0），

把B與C坐標(biāo)代入y=kx+n中，得： ，

解得：k=﹣ ，n=3，

∴直線BC解析式為y=﹣ x+3；

由A（1，0），B（4，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，

把C（0，3）代入得：a= ，

則拋物線解析式為y= x2﹣ x+3

（2）解：存在．

如圖所示，分兩種情況考慮：

∵拋物線解析式為y= x2﹣ x+3，

∴其對(duì)稱軸x=﹣ =﹣ = ．

當(dāng)P1C⊥CB時(shí)，△P1BC為直角三角形，

∵直線BC的斜率為﹣ ，

∴直線P1C斜率為 ，

∴直線P1C解析式為y﹣3= x，即y= x+3，

與拋物線對(duì)稱軸方程聯(lián)立得 ，

解得： ，

此時(shí)P（ ， ）；

當(dāng)P2B⊥BC時(shí)，△BCP2為直角三角形，

同理得到直線P2B的斜率為 ，

∴直線P2B方程為y= （x﹣4）= x﹣ ，

與拋物線對(duì)稱軸方程聯(lián)立得： ，

解得： ，

此時(shí)P2（ ，﹣2）．

綜上所示，P1（ ， ）或P2（ ，﹣2）．

當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)P（ ，y），

∵B（4，0），C（0，3），

∴BC=5，

∴BC2=PC2+PB2，即25=（ ）2+（y﹣3）2+（ ﹣4）2+y2，解得y= ，

∴P3（ ， ），P4（ ， ）．

綜上所述，P1（ ， ），P2（ ，﹣2），P3（ ， ），P4（ ， ）．

【解析】（1）利用勾股定理求出B坐標(biāo)，再把A、C坐標(biāo)代入解析式即可；（2）“以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形”須分類討論：點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)；點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)；分別過C、B作垂線與對(duì)稱軸相交，當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，可利用勾股定理列方程.