Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，延長(zhǎng)AB至E，延長(zhǎng)CD至F，BE=DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點(diǎn)．

（1）求證：CP=AQ；

（2）若BP=1，PQ=，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）8.

【解析】試題分析：

（1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，證出∠E=∠F，AE=CF，由ASA證明△CFP≌△AEQ，即可得出結(jié)論；（2）證明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE= ，得出EQ=PE+PQ= ，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE-BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面積；

試題解析：

（1）證明：

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°

∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC

∴∠E=∠F

∵BE=DF

∴AE=CF

在△CFP和△AEQ中

∴△CFP≌△AEQ（ASA）

∴CP=AQ

（2）解：∵AD∥BC

∴∠PBE=∠A=90°

∵∠AEF=45°

∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形

∴BE=BP=1，AQ=AE

∴PE= BP=

∴EQ=PE+PQ=+2 =3

∴AQ=AE=3

∴AB=AE﹣BE=2

∵CP=AQ，AD=BC

∴DQ=BP=1

∴AD=AQ+DQ=3+1=4

∴矩形ABCD的面積=AB×AD=2×4=8.