已知如圖所示,二次函數(shù)y=3x2-3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.直線x=1+m(m>O)與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)在直線x=l+m(m>0)上有一點(diǎn)P(點(diǎn)P在第一象限),使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似,求P點(diǎn)的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示).
(3)在(2)成立的條件下,試問:拋物線y=3x2-3上是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點(diǎn)Q,請求出m的值;如果不存在,請簡要說明理由.
分析:(1)令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo),令x=0,求出y的值即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出OB、OC的長度,再求出BD的長度,然后分①OB與BD是對應(yīng)邊,②OC與BD是對應(yīng)邊,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于m的方程,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等用m表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)Q在拋物線上,代入拋物線解析式計(jì)算求出m的值,即可得解.
解答:解:(1)令y=0,則3x2-3=0,
解得x1=-1,x2=1,
所以,點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),
令x=0,則y=3×0-3=-3,
所以,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3);

(2)∵B(1,0),C(0,-3),
∴OB=1,OC=3,
又∵直線x=l+m(m>O)與x軸交于點(diǎn)D,
∴BD=1+m-1=m,
①OB與BD是對應(yīng)邊時(shí),
∵△BCO∽△BPD,
OB
BD
=
OC
PD

1
m
=
3
PD
,
解得PD=3m,
所以,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1+m,3m),
②OC與BD是對應(yīng)邊時(shí),
∵△BCO∽△PBD,
OC
BD
=
OB
PD
,
3
m
=
1
PD
,
解得PD=
1
3
m,
所以,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+m,
1
3
m);

(3)存在.理由如下:
∵A(-1,0),B(1,0),
∴AB=1-(-1)=1+1=2,
根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等,PQ=AB=2,且PQ∥AB,
①當(dāng)點(diǎn)P(1+m,3m)時(shí),1+m-2=m-1,
所以,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m-1,3m),
∵點(diǎn)Q在拋物線上,
∴3(m-1)2-3=3m,
整理得,m2-3m=0,
解得,m1=3,m2=0(舍去),
②當(dāng)點(diǎn)P(1+m,
1
3
m)時(shí),1+m-2=m-1,
所以,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m-1,
1
3
m),
∵點(diǎn)Q在拋物線上,
∴3(m-1)2-3=
1
3
m,
整理得,9m2-19m=0,
解得m1=
19
9
,m2=0(舍去),
∵3與
19
9
都大于0,
∴拋物線y=3x2-3上存在點(diǎn)Q,使得四邊形ABPQ為平行四邊形,
此時(shí),m的值為3與
19
9
點(diǎn)評:本題綜合考查了二次函數(shù),主要利用了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題,相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),平行四邊形的對邊平行且相等,(2)中要注意根據(jù)對應(yīng)邊的不同分情況討論,(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)用m表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
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A、3B、4C、-1D、-1或3

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已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則當(dāng)函數(shù)值為3時(shí),自變量x的值為


  1. A.
    3
  2. B.
    4
  3. C.
    -1
  4. D.
    -1或3

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