Question

【題目】如圖，半徑為5的⊙P與y軸交于點(diǎn)M（0，﹣4），N（0，﹣10）

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）將⊙P繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后得⊙A，交x軸于B、C，求過(guò)A、B、C三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣7）；（2）y＝﹣x2﹣x﹣．

【解析】

（1）連接PM，PN，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，由點(diǎn)M，N的坐標(biāo)可得出MN的長(zhǎng)度，利用等腰三角形的三線合一可得出ME，OE的長(zhǎng)度，在Rt△PEM中，利用勾股定理可得出PE的長(zhǎng)度，結(jié)合OE的長(zhǎng)度及點(diǎn)P所在的象限即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）連接OP，OA，AB，AC（設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，在Rt△AFB中，利用勾股定理可得出BF的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出OB，OC的長(zhǎng)，由OB，OC在x軸負(fù)半軸可得出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出過(guò)A，B，C三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式．

（1）連接PM，PN，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖1所示．

∵PM＝PN，

∴ME＝NE．

∵點(diǎn)M（0，﹣4），N（0，﹣10），

∴OM＝4，MN＝﹣4﹣（﹣10）＝6，ME＝MN＝3，

∴OE＝OM+ME＝7．

在Rt△PEM中，∠PEM＝90°，PM＝5，ME＝3，

∴PE＝＝4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣7）．

（2）連接OP，OA，AB，AC（設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2所示．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：OD＝OE＝7，AF＝PE＝4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣7，4）．

在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，AF＝4，AB＝5，

∴BF＝＝3，

∴OB＝OF﹣BF＝4．

同理：CF＝3，OC＝OF+CF＝10，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣10，0）．

設(shè)過(guò)A，B，C三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），

將A（﹣7，4），B（﹣4，0），C（﹣10，0）代入y＝ax2+bx+c，得：

解得：，

∴過(guò)A，B，C三個(gè)點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-x2-x-．