【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線ABy=﹣x+by軸于點(diǎn)A0,4),交x軸于點(diǎn)B

1)求直線AB的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo);

2)直線l垂直平分OBAB于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn),且在點(diǎn)D的上方,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n

①用含n的代數(shù)式表示ABP的面積;

②當(dāng)SABP=8時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

③在②的條件下,以PB為斜邊在第一象限作等腰直角PBC,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】1AB:y=-x+4B(4,0);(2SABP=2n-4,P(26),C(64).

【解析】試題分析

1)把點(diǎn)A0,4)代入y=﹣x+b解得b的值,即可得到一次函數(shù)的解析式,由解析式即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);

21)中所求點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)結(jié)合題意可知,直線PE為: ,由此可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),從而可用含“n”的代數(shù)式表達(dá)出PD的長,由SABP=PD·OB即可用含“n”表達(dá)的面積;

SABP=8代入中所求的表達(dá)式中,解方程即可求得“n”的值,從而可得此時點(diǎn)P的坐標(biāo);

如下圖,設(shè)點(diǎn)C1C2是符合題意的點(diǎn)C,則由題意易得:四邊形BC1PC2是正方形,過點(diǎn)C1C1Mx軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)PPN存在MC1于點(diǎn)N,則四邊形PEMN是矩形,△C1MB≌△PNC1設(shè)BM= ,C1M=MN-NC1= ;在RtPBE中,由勾股定理可求得:PB=;再在RtBMC1中,由BM2+C1M2=BC12,建立關(guān)于“”分方程,解方程求得“”的值,即可求得點(diǎn)C1的坐標(biāo);同理可求得點(diǎn)C2的坐標(biāo);最后結(jié)合點(diǎn)C在第一象限這一條件即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).

試題解析

(1)∵直線ABy=﹣x+by軸于點(diǎn)A0,4),

∴b=4,

直線AB的表達(dá)式為:y=﹣x+4.

∵在y=﹣x+4,當(dāng)y=0時,x=4,

直線ABx軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(40);

2①∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(40),

∴OB=4

∵直線l垂直平分OBAB于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2

y=-x+4當(dāng)x=2時,y=-2+4=2,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(22.

∵P是直線l上一動點(diǎn),且在點(diǎn)D的上方,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n,

∴PD=n-2,

SABP=PD·OB=

當(dāng)SABP=8時,由解得 ,

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6);

如圖,設(shè)點(diǎn)C1C2是符合題意的點(diǎn)C,則由題意易得:四邊形BC1PC2是正方形,過點(diǎn)C1C1M⊥x軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)PPN存在MC1于點(diǎn)N,則四邊形PEMN是矩形,△C1MB≌△PNC1,

∴MN=PE=6,NC1=BM,PN=C1M=BM+BE,

設(shè)BM= ,C1M=MN-NC1= .

∵在RtPBE中,PE=6,BE=OB=2,

PB=,

∵PB是等腰Rt△PC1B的斜邊,

BC1=.

Rt△BMC1中,BM2+C1M2=BC12,

,解得 ,

當(dāng),PN=C1M=6-4=2<BM+BE,

只能取2

∴BM=2,C1M=6-2=4

∴OM=OB+BM=4+2=6,

點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(6,4);

同理可求得點(diǎn)C2的坐標(biāo)為(02);

點(diǎn)C在第一象限,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(64.

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