【題目】(1)如圖①,在平行四邊形ABCD中,AC、BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,
求證:OE=OF.
(2)在圖①中,過(guò)點(diǎn)O作直線GH分別交AB、CD于點(diǎn)G、H,且滿足GH⊥EF,連結(jié)EG、GF、FH、HE.如圖②,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,
若平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦螘r(shí),四邊形EGFH是 ;
若平行四邊形ABCD變?yōu)榱庑螘r(shí),四邊形EGFH是 ;
若平行四邊形ABCD變?yōu)檎叫螘r(shí),四邊形EGFH是 .
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)菱形;菱形;正方形
【解析】
試題分析:(1)由于平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心,即可得出OE=OF、OG=OH;根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的性質(zhì);
(2)當(dāng)EF⊥GH時(shí),平行四邊形EGFH的對(duì)角線互相垂直平分,故四邊形EGFH是菱形;
(3)若平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦,即AC=BD時(shí),對(duì)四邊形EGFH的形狀不會(huì)產(chǎn)生影響,故結(jié)論同(2);
若平行四邊形ABCD變?yōu)榱庑,即AC⊥BD時(shí),對(duì)四邊形EGFH的形狀不會(huì)產(chǎn)生影響,故結(jié)論同(2);
當(dāng)四邊形ABCD是正方形,則對(duì)角線相等且互相垂直平分;可通過(guò)證△BOG≌△COF,得OG=OF,從而證得菱形的對(duì)角線相等,根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形即可判斷出EGFH的形狀.
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴EO=FO;
(2)解:四邊形EGFH是菱形;
理由:如圖②:
由(1)可知,OE=OF,
同理可得:OG=OH,
∴四邊形EGFH是平行四邊形,
又∵EF⊥GH,
∴四邊形EGFH是菱形;
(3)解:若平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦螘r(shí),四邊形EGFH是菱形;
理由:由(2)知四邊形EGFH是菱形,
當(dāng)AC=BD時(shí),對(duì)四邊形EGFH的形狀不會(huì)產(chǎn)生影響;
故答案為:菱形;
若平行四邊形ABCD變?yōu)榱庑螘r(shí),四邊形EGFH是菱形;
理由:由(2)知四邊形EGFH是菱形,
當(dāng)AC⊥BD時(shí),對(duì)四邊形EGFH的形狀不會(huì)產(chǎn)生影響;
故答案為:菱形;
若平行四邊形ABCD變?yōu)檎叫螘r(shí),四邊形EGFH是四邊形EGFH是正方形;
理由:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;
∵EF⊥GH,
∴∠GOF=90°;
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF;
在△BOG和△COF中
,
∴△BOG≌△COF(ASA);
∴OG=OF,
同理可得:EO=OH,
∴GH=EF;
由(3)知四邊形EGFH是菱形,
又EF=GH,
∴四邊形EGFH是正方形.
故答案為:正方形.
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