Question

【題目】如圖1，平面內(nèi)有一點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為PA、PB、PC，若有，則稱點(diǎn)P為關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn).矩形ABCD中，AB=5，BC=6，E是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)C是關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)，若是△ADE等腰三角形，求AE的長為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

△ADE是等腰三角形需分3種情況討論，把每種情況畫圖再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理計(jì)算，即能求AE的長

∵矩形ABCD中，AB=5，BC=6
∴AD=BC=6，CD=AB=5
∵點(diǎn)C是△ABE關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn)
∴CE=CD=5
i）如圖1，若DE=DA，則DE=6

過點(diǎn)E作MN⊥AB于點(diǎn)M，交DC于點(diǎn)N
∴∠AME=∠MND=90°
∴四邊形AMND是矩形
∴MN=AD=6，AM=DN
設(shè)AM=DN=x，則CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2
∴62-x2=52-（5-x）2
解得：x=
∴EN=＝＝，AM=DN=
∴ME=MN-EN=6-＝
∴Rt△AME中，AE=＝
ii）如圖2，若AE=DE，則E在AD的垂直平分線上

過點(diǎn)E作PQ⊥AD于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q
∴AP=DP=AD=3，∠APQ=∠PQC=90°
∴四邊形CDPQ是矩形
∴PQ=CD=5，CQ=PD=3
∴Rt△CQE中，EQ=
∴PE=PQ-EQ=1
∴Rt△APE中，AE=;
iii）如圖3，若AE=AD=6，則AE2+CE2=AD2+CD2=AC2

∴∠AEC=90°
取AC中點(diǎn)O，則點(diǎn)A、B、C、D在以O(shè)為圓心、OA為半徑的⊙O上
∴點(diǎn)E也在⊙O上
∴點(diǎn)E不在矩形ABCD內(nèi)部，不符合題意
綜上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的長為.

故答案為.