Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是3cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．

求：（1）用含t的代數(shù)式表示Rt△CPQ的面積S；

（2）當(dāng)t＝2s時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）Rt△CPQ的面積為S＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；（2）PQ＝10cm；（3）t＝2秒或t＝秒時(shí)，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

【解析】

(1)由點(diǎn)P,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間,又知AC,BC的長,可將CP.CQ用含t的表達(dá)式求出,代入直角三角形面積公式S△CPQ=CP CQ求解

(2)在Rt△CPQ中,當(dāng)t=2秒,可知CP、CQ的長,運(yùn)用勾股定理可將PQ的長求出

(3)應(yīng)分兩種情況:當(dāng)R△CPQ∽R(shí)△CAB時(shí)根據(jù) ,可將時(shí)間t求出;當(dāng)Rt△ CPQ∽R(shí)t△CBA時(shí),根據(jù) ,可求出時(shí)間t.

（1）由題意得AP＝4t，CQ＝3t，則CP＝16﹣4t，

因此Rt△CPQ的面積為S＝ CP×CQ＝ （16﹣4t）×3t＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；

（2）由題意得AP＝4t，CQ＝3t，則CP＝16﹣4t，

當(dāng)t＝2秒時(shí)，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm，

在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝ ；

（3）由題意得AP＝4t，CQ＝3t，則CP＝16﹣4t，

∵AC＝16cm，BC＝12cm．

∴①當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CAB時(shí)，，即，解得t＝2秒；

②當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CBA時(shí)， ，即，解得t＝ 秒．

因此t＝2秒或t＝秒時(shí)，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．