Question

【題目】函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x 軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC．點(diǎn)D在函數(shù)圖像上，CD//x軸，且CD=2，直線l 是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求b、c 的值；

（2）如圖①，連接BE，線段OC 上的點(diǎn)F 關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)F′ 恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P 作x 軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N．試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最小？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

圖 ① 圖②

Answer 1

【答案】（1）c=-3；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-2）；（3）滿足題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（,）和(,)

【解析】

（1）由條件可求得拋物線對(duì)稱軸，則可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得c的值；

（2）可設(shè)F（0，m），則可表示出F′的坐標(biāo)，由B、E的坐標(biāo)可求得直線BE的解析式，把F′坐標(biāo)代入直線BE解析式可得到關(guān)于m的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），可表示出PA、PB、PN的長(zhǎng)，作QR⊥PN，垂足為R，則可求得QR的長(zhǎng)，用n可表示出Q、R、N的坐標(biāo)．在Rt△QRN中，由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)n的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵CD∥x軸，CD=2，∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，∴．

∵OB=OC，C（0，c），∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得：c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；

（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）．

∵對(duì)稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，m）．

由（1）可知拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）．

∵直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為y=2x﹣6．

∵點(diǎn)F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣2）；

（3）存在點(diǎn)Q滿足題意．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足為R．

∵S△PQN=S△APM，∴，∴QR=1．

分兩種情況討論：

①點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n﹣1，n2﹣4n），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2﹣4n），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+1，n2﹣4）．

同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上可知存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或．