Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM、BN分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD交AM，BN于點(diǎn)D、C，DO平分∠ADC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半徑R．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，將梯形ABCD分割成一個(gè)矩形和一個(gè)直角三角形，得出FC=9﹣4=5，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得DC=AD+BC=4+9=13，然后在直角三角形DCF中用勾股定理求出DF的長(zhǎng)，可解.

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥DC于E，然后利用角平分線的性質(zhì)證明OE=OA即可；（2）

試題解析：（1）證明：過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，

∵AM切⊙O于點(diǎn)A，

∴OA⊥AD，

又∵DO平分∠ADC，

∴OE=OA，

∵OA為⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線． 3分

（2）【解析】
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∴AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴四邊形ABFD是矩形，

∴AD=BF，AB=DF，

又∵AD=4，BC=9，

∴FC=9﹣4=5，

∴AM，BN，DC分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，

∴DA=DE，CB=CE，

∴DC=AD+BC=4+9=13， 6分

在RT△DFC中， DC2=DF2+FC2，

∴DF==12，

∴AB=12，

∴⊙O的半徑R是6． 8分

考點(diǎn)：1.切線的判定；2.矩形的性質(zhì)；3．切線長(zhǎng)定理；4.勾股定理.