已知拋物線y=-
1
3
x2+bx-
10
3
經(jīng)過點A(7,6),且與x軸交于B、C兩點
(1)求b值及B、C兩點的坐標(biāo);
(2)若直線x=t與拋物線交于P,與線段AB交于點Q,試問當(dāng)t為何值時,線段PQ 的長最長?最長是多少?
(3)若點D是線段AB上任意一點,過點D作DE∥BC,交AC于點E設(shè)ADE的高AF的長為小x,以DE為折痕將△ADE翻折,所得的△A’DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y,當(dāng)0<x<6時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;并求y的最大值.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)把點A的坐標(biāo)(7,6)代入拋物線解析式計算即可求出b的值,然后令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可寫出點B、C的坐標(biāo);
(2)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,再根據(jù)拋物線的解析式與直線AB的解析式分別求出點P、與點Q的坐標(biāo),線段PQ的長就等于點P的縱坐標(biāo)減點Q的縱坐標(biāo),整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可;
(3)因為AH的長度是6,所以①分0<x≤3時,△A′DE在梯形DBCE內(nèi)部,重疊部分的面積等于△A′DE的面積,②3<x<6時,點A′在梯形DBCE的外部,重疊部分是一個梯形,求出DE的長度,△A′DE在x軸上兩交點之間的距離,以及梯形的高,然后根據(jù)梯形的面積公式列式并整理,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題進行求解,綜合兩種情況便不難求出最大面積y.
解答:解:(1)∵拋物線y=-
1
3
x2+bx-
10
3
經(jīng)過點A(7,6),
∴-
1
3
×72+7b-
10
3
=6,
解得b=
11
3

∴拋物線解析式是y=-
1
3
x2+
11
3
x-
10
3
,
當(dāng)y=0時,-
1
3
x2+
11
3
x-
10
3
=0,
解得x1=1,x2=10,
∴點B、C的坐標(biāo)分別為B(1,0),C(10,0);

(2)設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,
7k+b=6
k+b=0
,
解得
k=1
b=-1

∴直線AB的解析式是y=x-1,
∴點P的坐標(biāo)為(t,-
1
3
t2+
11
3
t-
10
3
),點Q的坐標(biāo)是(t,t-1),其中0<t<6,
PQ=-
1
3
t2+
11
3
t-
10
3
-(t-1)=-
1
3
t2+
8
3
t-
7
3
=-
1
3
(t-4)2+3,
∴當(dāng)t=4時,線段PQ有最長值,最長值為3;

(3)①0<x≤3時,如圖,延長AF交x軸與H,精英家教網(wǎng)
△A′DE在梯形DBCE內(nèi)部,重疊部分的面積等于△A′DE的面積
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
AF
AH
=
DE
BC
,
x
6
=
DE
10-1
,
解得DE=
3
2
x,
∴重疊部分的面積y=S△A′DE=
1
2
DE•AF=
1
2
×
3
2
x×x=
3
4
x2,(0<x≤3),
∴當(dāng)x=3時,y有最大值,最大值y=
3
4
×32=
27
4
,
②當(dāng)3<x<6時,點A′在梯形DBCE的外部,重疊部分是一個梯形,如右圖,精英家教網(wǎng)
FH=AH-AF=6-x,A′H=A′F-FH=x-(6-x)=2x-6,
∵DE∥BC,
∴△A′MN∽△A′DE,
A′H
A′F
=
MN
DE
,
2x-6
x
=
MN
3
2
x
,
解得MN=3x-9,
∴重疊部分的面積y=S梯形MNED=
1
2
(MN+DE)•FH=
1
2
(3x-9+
3
2
x)(6-x)=
9
4
(x-4)2+9,(3<x<6),
當(dāng)x=4時,y有最大值,最大值y=9,
9>
27
4
,
綜上所述,當(dāng)x=4時,△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積y有最大值,最大值是9.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的計算方法、三角形相似、函數(shù)圖象交點等重要知識點,綜合性強,能力要求較高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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精英家教網(wǎng)已知拋物線y=
13
(x-4)2-3
的部分圖象如圖所示,則圖象再次與x軸相交時的坐標(biāo)是
 

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精英家教網(wǎng)已知拋物線y=
1
3
(x-4)2-3的部分圖象(如圖),圖象再次與x軸相交時的坐標(biāo)是( 。
A、(5,0)
B、(6,0)
C、(7,0)
D、(8,0)

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精英家教網(wǎng)已知拋物線y=
1
3
(x-4)2-3的部分圖象如圖所示,若隨自變量的取值逐漸增大,則圖象再次與x軸相交的交點坐標(biāo)是(  )
A、(5,0)
B、(6,0)
C、(7,0)
D、(0,7)

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已知拋物線y=
1
3
(x-4)2-3,圖象與y軸交點的坐標(biāo)是( 。

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已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=25有公共點,且僅當(dāng)-
1
2
<x<
1
3
時拋物線在x軸上方,求a、b、c的取值范圍.

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